 11.2. OUR THREE DEFINITIONS OF CONTINUITY

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11.2. Our three definitions of continuity

I have expressed different kinds of continuity with simple algebraic formulas

hiding the complexity of traditional epsilon-delta notation behind a smart algebra.

Let’s summarize these three algebraic formulas:

Let

µ

and

ν

be endomorphisms of some partially ordered precategory. Con-

tinuous functions can be defined as these morphisms

f

of this precategory which

conform to the following formula:

f

C(

µ, ν

)

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

µ

v

ν

f.

If the precategory is a partially ordered dagger precategory then continuity also

can be defined in two other ways:

f

C

0

(

µ, ν

)

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

)

µ

v

f

ν

f

;

f

C

00

(

µ, ν

)

f

Hom(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

µ

f

v

ν.

Remark

1171

.

In the examples (above) about funcoids and reloids the “dagger

functor” is the reverse of a funcoid or reloid, that is

f

=

f

1

.

Proposition

1172

.

Every of these three definitions of continuity forms a wide

sub-precategory (wide subcategory if the original precategory is a category).

Proof.

C. Let

f

C(

µ, ν

),

g

C(

ν, π

). Then

f

µ

v

ν

f

,

g

ν

v

π

g

,

g

f

µ

v

g

ν

f

v

π

g

f

. So

g

f

C(

µ, π

). 1

Ob

µ

C(

µ, µ

) is obvious.

C

0

. Let

f

C

0

(

µ, ν

),

g

C

0

(

ν, π

). Then

µ

v

f

ν

f

,

ν

v

g

π

g

;

µ

v

f

g

π

g

f

;

µ

v

(

g

f

)

π

(

g

f

)

.

So

g

f

C

0

(

µ, π

). 1

Ob

µ

C

0

(

µ, µ

) is obvious.

C

00

. Let

f

C

00

(

µ, ν

),

g

C

00

(

ν, π

). Then

f

µ

f

v

ν

,

g

ν

g

v

π

;

g

f

µ

f

g

v

π

; (

g

f

)

µ

(

g

f

)

v

π.

So

g

f

C

00

(

µ, π

). 1

Ob

µ

C

00

(

µ, µ

) is obvious.

Proposition

1173

.

For a monovalued morphism

f

of a partially ordered dag-

ger category and its endomorphisms

µ

and

ν

f

C

0

(

µ, ν

)

f

C(

µ, ν

)

f

C

00

(

µ, ν

)

.

Proof.

Let

f

C

0

(

µ, ν

). Then

µ

v

f

ν

f

;

f

µ

v

f

f

ν

f

v

1

Dst

f

ν

f

=

ν

f

;

f

C(

µ, ν

)

.

Let

f

C(

µ, ν

). Then

f

µ

v

ν

f

;

f

µ

f

v

ν

f

f

v

ν

1

Dst

f

=

ν

;

f

C

00

(

µ, ν

)

.

Proposition

1174

.

For an entirely defined morphism

f

of a partially ordered

dagger category and its endomorphisms

µ

and

ν

f

C

00

(

µ, ν

)

f

C(

µ, ν

)

f

C

0

(

µ, ν

)

.

Proof.

Let

f

C

00

(

µ, ν

). Then

f

µ

f

v

ν

;

f

µ

f

f

v

ν

f

;

f

µ

1

Src

f

v

ν

f

;

f

µ

v

ν

f

;

f

C(

µ, ν

).

Let

f

C(

µ, ν

). Then

f

µ

v

ν

f

;

f

f

µ

v

f

ν

f

; 1

Src

µ

µ

v

f

ν

f

;

µ

v

f

ν

f

;

f

C

0

(

µ, ν

).

For entirely defined monovalued morphisms our three definitions of continuity

coincide: