 CHAPTER 11

Continuous morphisms

This chapter uses the apparatus from the section “Partially ordered dagger

categories”.

11.1. Traditional definitions of continuity

In this section we will show that having a funcoid or reloid

f

corresponding

to a function

f

we can express continuity of it by the formula

f

µ

v

ν

◦ ↑

f

(or

similar formulas) where

µ

and

ν

are some spaces.

11.1.1. Pretopology.

Let (

A,

cl

A

) and (

B,

cl

B

) be preclosure spaces. Then

by definition a function

f

:

A

B

is continuous iff

f

cl

A

(

X

)

cl

B

(

f X

) for every

X

P

A

. Let now

µ

and

ν

be endofuncoids corresponding correspondingly to cl

A

and cl

B

. Then the condition for continuity can be rewritten as

FCD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

µ

v

ν

◦ ↑

FCD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f.

11.1.2. Proximity spaces.

Let

µ

and

ν

be proximity spaces (which I consider

a special case of endofuncoids). By definition a

Set

-morphism

f

is a proximity-

continuous map from

µ

to

ν

iff

X, Y

T

(Ob

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i

X

[

ν

]

h

f

i

Y

)

.

Equivalently transforming this formula we get

X, Y

T

(Ob

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒ h

f

i ↑

X

[

ν

]

h

f

i ↑

Y

);

X, Y

T

(Ob

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

⇒↑

X

f

1

ν

f

Y

);

X, Y

T

(Ob

µ

) : (

X

[

µ

]

Y

X

f

1

ν

f

Y

);

µ

v

f

1

ν

f.

So a function

f

is proximity continuous iff

µ

v

f

1

ν

f

.

11.1.3. Uniform spaces.

Uniform spaces are a special case of endoreloids.

Let

µ

and

ν

be uniform spaces. By definition a

Set

-morphism

f

is a uniformly

continuous map from

µ

to

ν

iff

ε

up

ν

δ

up

ν

(

x, y

)

δ

: (

f x, f y

)

ε.

Equivalently transforming this formula we get:

up

ν

δ

up

µ

(

x, y

)

δ

:

{

(

f x, f y

)

} ⊆

;

up

ν

δ

up

µ

(

x, y

)

δ

:

f

◦ {

(

x, y

)

} ◦

f

1

;

up

ν

δ

up

µ

:

f

δ

f

1

;

up

ν

:

RLD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

µ

(

RLD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

)

1

v↑

RLD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

;

RLD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

µ

(

RLD

(Ob

µ,

Ob

ν

)

f

)

1

v

ν.

So a function

f

is uniformly continuous iff

f

µ

f

1

v

ν

.

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