 2.1. ORDER THEORY

22

2.1.9. Center of a lattice.

Definition

91

.

The

center

Z

(

A

) of a bounded distributive lattice

A

is the set

of its complemented elements.

Remark

92

.

For a definition of center of non-distributive lattices see [

5

].

Remark

93

.

In [

24

the word center and the notation

Z

(

A

) are used in a

different sense.

Definition

94

.

A sublattice

K

of a complete lattice

L

is a

closed sublattice

of

L

if

K

contains the meet and the join of any its nonempty subset.

Theorem

95

.

Center of an infinitely distributive lattice is its closed sublattice.

Proof.

See [

17

].

Remark

96

.

See [

18

for a more strong result.

Theorem

97

.

The center of a bounded distributive lattice constitutes its sub-

lattice.

Proof.

Let

A

be a bounded distributive lattice and

Z

(

A

) be its center. Let

a, b

Z

(

A

). Consequently ¯

a,

¯

b

Z

(

A

). Then ¯

a

t

¯

b

is the complement of

a

u

b

because

(

a

u

b

)

u

a

t

¯

b

) = (

a

u

b

u

¯

a

)

t

(

a

u

b

u

¯

b

) =

⊥ t ⊥

=

and

(

a

u

b

)

t

a

t

¯

b

) = (

a

t

¯

a

t

¯

b

)

u

(

b

t

¯

a

t

¯

b

) =

> u >

=

>

.

So

a

u

b

is complemented. Similarly

a

t

b

is complemented.

Theorem

98

.

The center of a bounded distributive lattice constitutes a

boolean lattice.

Proof.

Because it is a distributive complemented lattice.

2.1.10. Atoms of posets.

Definition

99

.

An atom of a poset is an element

a

such that (for every its

element

x

)

x

@

a

if and only if

x

is the least element.

Remark

100

.

This definition is valid even for posets without least element.

Proposition

101

.

Element

a

is an atom iff both:

1

.

x

@

a

implies

x

is the least element;

2

.

a

is non-least.

Proof.

. Let

a

be an atom.

1

is obvious. If

a

is least then

a

@

a

what is impossible,

so

2

.

. Let

1

and

2

hold. We need to prove only that

x

is least implies that

x

@

a

but this follows from

a

being non-least.

Example

102

.

Atoms of the boolean algebra

P

A

(ordered by set inclusion)

are one-element sets.

I will denote atoms

A

a

or just (atoms

a

) the set of atoms contained in an element

a

of a poset

A

. I will denote atoms

A

the set of all atoms of a poset

A

.

Definition

103

.

A poset

A

is called

atomic

iff atoms

a

6

=

for every non-least

element

a

of the poset

A

.