background image

9.8. DOUBLE FILTRATORS

214

9.8. Double filtrators

Below I show that it’s possible to describe (

FCD

), (

RLD

)

out

, and (

RLD

)

in

en-

tirely in terms of filtrators (order). This seems not to lead to really interesting

results but it’s curious.

Definition

1147

.

Double filtrator

is a triple (

A

,

B

,

Z

) of posets such that

Z

is

a sub-poset of both

A

and

B

.

In other words, a double filtrator (

A

,

B

,

Z

) is a triple such that both (

A

,

Z

)

and (

B

,

Z

) are filtrators.

Definition

1148

.

Double filtrator of funcoids and reloids

is (

FCD

,

RLD

,

Rel

).

Definition

1149

.

(

FCD

)

f

=

d

A

up

Z

f

for

f

B

.

Definition

1150

.

(

RLD

)

out

f

=

d

B

up

Z

f

for

f

A

.

Definition

1151

.

If (

FCD

) is a lower adjoint, define (

RLD

)

in

as the upper

adjoint of (

FCD

).

9.8.1. Embedding of

A

into

B

.

In this section we will suppose that (

FCD

)

and (

RLD

)

in

form a Galois surjection, that is (

FCD

)(

RLD

)

in

f

=

f

for every

f

A

.

Then (

RLD

)

in

is an order embedding from

A

to

B

.

9.8.2. One more core part.

I this section we will assume that (

FCD

)

and (

RLD

)

in

form a Galois surjection and equate

A

with its image by (

RLD

)

in

in

B

. We will also assume (

A

,

Z

) being a filtered filtrator.

Proposition

1152

.

(

FCD

)

f

= Cor

A

f

for every

f

B

.

Proof.

Cor

A

f

=

d

A

up

A

f

v

d

A

up

Z

f

= (

FCD

)

f

. But for every

g

up

A

f

we have

g

=

d

A

up

Z

g

w

d

A

up

Z

f

, thus

d

A

up

A

f

w

d

A

up

Z

f

.

Example

1153

.

(

FCD

)

f

6

= Cor

0

A

f

for the double filtrator of funcoids and

reloids.

Proof.

Consider a nontrivial ultrafiler

a

and the reloid

f

= id

RLD

a

. Cor

0

A

f

=

Cor

0

FCD

id

RLD

a

=

d

FCD

down

FCD

id

RLD

a

=

d

FCD

=

FCD

6

=

a

×

FCD

a

= (

FCD

) id

RLD

a

.

I leave to a reader’s exercise to apply the above theory to complete funcoids

and reloids.