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9.7. SOME SUB-POSETS OF FUNCOIDS AND RELOIDS

213

Proposition

1143

.

(

RLD

)

in

f

is transitive iff

f

is transitive (for every endo-

funcoid

f

).

Proof.

f

=

f

f

(

RLD

)

in

f

= (

RLD

)

in

(

f

f

)

(theorem

1121

)

(

RLD

)

in

f

= (

RLD

)

in

f

(

RLD

)

in

f

(

FCD

)(

RLD

)

in

f

= (

FCD

)(

RLD

)

in

f

(

FCD

)(

RLD

)

in

f

f

=

f

f

. Thus

f

=

f

f

(

RLD

)

in

f

(

RLD

)

in

f

.

Conjecture

1144

.

1

. There exists such a transitive endofuncoid

f

, that (

RLD

)

out

f

is not a

transitive reloid.

2

. There exists such a non-transitive endofuncoid

f

, that (

RLD

)

out

f

is tran-

sitive reloid.

9.7. Some sub-posets of funcoids and reloids

Proposition

1145

.

The following are complete sub-meet-semilattices (that is

subsets closed for arbitrary meets) of

RLD

(

A, A

) (for every set

A

):

1

. symmetric reloids on

A

;

2

. reflexive reloids on

A

;

3

. symmetric reflexive reloids on

A

;

4

. transitive reloids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive reloids (= reloids of equivalence = uniform

spaces) on

A

.

Proof.

The first three items are obvious.

Fourth: Let

S

be a set of transitive reloids on

A

. That is

f

f

v

f

for

every

f

S

. Then (

d

S

)

(

d

S

)

v

f

f

v

f

. Consequently (

d

S

)

(

d

S

)

v

d

S

.

The last item follows from the previous.

Proposition

1146

.

The following are complete sub-meet-semilattices (that is

subsets closed for arbitrary meets) of

FCD

(

A, A

) (for every set

A

):

1

. symmetric funcoids on

A

;

2

. reflexive funcoids on

A

;

3

. symmetric reflexive funcoids on

A

;

4

. transitive funcoids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive funcoids (= funcoids of equivalence = prox-

imity spaces) on

A

.

Proof.

Analogous.

Obvious corollaries:

Corollary

1147

.

The following are complete lattices (for every set

A

):

1

. symmetric reloids on

A

;

2

. reflexive reloids on

A

;

3

. symmetric reflexive reloids on

A

;

4

. transitive reloids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive reloids (= reloids of equivalence = uniform

spaces) on

A

.

Corollary

1148

.

The following are complete lattices (for every set

A

):

1

. symmetric funcoids on

A

;

2

. reflexive funcoids on

A

;

3

. symmetric reflexive funcoids on

A

;

4

. transitive funcoids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive funcoids (= funcoids of equivalence = prox-

imity spaces) on

A

.