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9.7. SOME SUB-POSETS OF FUNCOIDS AND RELOIDS

213

9.7. Some sub-posets of funcoids and reloids

Proposition

1142

.

The following are complete sub-meet-semilattices (that is

subsets closed for arbitrary meets) of

RLD

(

A, A

) (for every set

A

):

1

. symmetric reloids on

A

;

2

. reflexive reloids on

A

;

3

. symmetric reflexive reloids on

A

;

4

. transitive reloids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive reloids (= reloids of equivalence = uniform

spaces) on

A

.

Proof.

The first three items are obvious.

Fourth: Let

S

be a set of transitive reloids on

A

. That is

f

f

v

f

for

every

f

S

. Then (

d

S

)

(

d

S

)

v

f

f

v

f

. Consequently (

d

S

)

(

d

S

)

v

d

S

.

The last item follows from the previous.

Proposition

1143

.

The following are complete sub-meet-semilattices (that is

subsets closed for arbitrary meets) of

FCD

(

A, A

) (for every set

A

):

1

. symmetric funcoids on

A

;

2

. reflexive funcoids on

A

;

3

. symmetric reflexive funcoids on

A

;

4

. transitive funcoids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive funcoids (= funcoids of equivalence = prox-

imity spaces) on

A

.

Proof.

Analogous.

Obvious corollaries:

Corollary

1144

.

The following are complete lattices (for every set

A

):

1

. symmetric reloids on

A

;

2

. reflexive reloids on

A

;

3

. symmetric reflexive reloids on

A

;

4

. transitive reloids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive reloids (= reloids of equivalence = uniform

spaces) on

A

.

Corollary

1145

.

The following are complete lattices (for every set

A

):

1

. symmetric funcoids on

A

;

2

. reflexive funcoids on

A

;

3

. symmetric reflexive funcoids on

A

;

4

. transitive funcoids on

A

;

5

. symmetric reflexive transitive funcoids (= funcoids of equivalence = prox-

imity spaces) on

A

.

The following conjecture was inspired by theorem 2.2 in [

41

]:

Conjecture

1146

.

Join of a set

S

on the lattice of transitive reloids is the

join (on the lattice of reloids) of all compositions of finite sequences of elements

of

S

.

The similar question can be asked about uniform spaces.

Does the same hold for funcoids?