 2010

Mathematics Subject Classification.

54J05, 54A05, 54D99, 54E05, 54E15,

54E17, 54E99

Key words and phrases.

algebraic general topology, quasi-uniform spaces,

generalizations of proximity spaces, generalizations of nearness spaces,

generalizations of uniform spaces

Todd Trimble

,

Andreas Blass

,

Robert Martin Solovay

,

Niels

Diepeveen

, and others (mentioned below) have proved some theorems which are

now in this book.

Abstract.

In this work I introduce and study in details the concepts of fun-

coids which generalize proximity spaces and reloids which generalize uniform
spaces, and generalizations thereof. The concept of funcoid is generalized con-
cept of proximity, the concept of reloid is cleared from superfluous details
(generalized) concept of uniformity.

Also funcoids and reloids are generalizations of binary relations whose

domains and ranges are filters (instead of sets). Also funcoids and reloids can
be considered as a generalization of (oriented) graphs, this provides us with a
common generalization of calculus and discrete mathematics.

It is defined a generalization of limit for arbitrary (including discontinuous

and multivalued) functions, what allows to define for example derivative of an
arbitrary real function.

The concept of continuity is defined by an algebraic formula (instead of old

messy epsilon-delta notation) for arbitrary morphisms (including funcoids and
reloids) of a partially ordered category. In one formula continuity, proximity
continuity, and uniform continuity are generalized.

Also I define connectedness for funcoids and reloids.
Then I consider generalizations of funcoids: pointfree funcoids and gen-

eralization of pointfree funcoids: staroids and multifuncoids.

Also I define

several kinds of products of funcoids and other morphisms.

Before going to topology, this book studies properties of co-brouwerian

lattices and filters.