 8.7. COMPLETE RELOIDS AND COMPLETION OF RELOIDS

194

Definition

1046

.

Completion

and

co-completion

of a reloid

f

RLD

(

A, B

)

are defined by the formulas:

Compl

f

= Cor

ComplRLD

(

A,B

)

f

; CoCompl

f

= Cor

CoComplRLD

(

A,B

)

f.

Theorem

1047

.

Atoms of the lattice

ComplRLD

(

A, B

) are exactly reloidal

products of the form

A

{

α

} ×

RLD

b

where

α

A

and

b

is an ultrafilter on

B

.

Proof.

First, it’s easy to see that

A

{

α

} ×

RLD

b

are elements of

ComplRLD

(

A, B

). Also

RLD

(

A,B

)

is an element of

ComplRLD

(

A, B

).

A

{

α

} ×

RLD

b

are atoms of

ComplRLD

(

A, B

) because they are atoms of

RLD

(

A, B

).

It remains to prove that if

f

is an atom of

ComplRLD

(

A, B

) then

f

=

A

{

α

} ×

RLD

b

for some

α

A

and an ultrafilter

b

on

B

.

Suppose

f

is a non-empty complete reloid. Then

A

{

α

} ×

RLD

b

v

f

for some

α

A

and an ultrafilter

b

on

B

. If

f

is an atom then

f

=

A

{

α

} ×

RLD

b

.

Obvious

1048

.

ComplRLD

(

A, B

) is an atomistic lattice.

Proposition

1049

.

Compl

f

=

d

n

f

|

↑{

α

}

α

Src

f

o

for every reloid

f

.

Proof.

Let’s denote

R

the right part of the equality to be proven.

That

R

is a complete reloid follows from the equality

f

|

↑{

α

}

=

Src

f

{

α

} ×

RLD

im(

f

|

↑{

α

}

)

.

Obviously,

R

v

f

.

The only thing left to prove is that

g

v

R

for every complete reloid

g

such that

g

v

f

.

Really let

g

be a complete reloid such that

g

v

f

. Then

g

=

l

Src

f

{

α

} ×

RLD

G

(

α

)

α

Src

f

for some function

G

: Src

f

F

(Dst

f

).

We have

Src

f

{

α

} ×

RLD

G

(

α

) =

g

|

Src

f

{

α

}

v

f

|

↑{

α

}

. Thus

g

v

R

.

Conjecture

1050

.

Compl

f

u

Compl

g

= Compl(

f

u

g

) for every

f, g

RLD

(

A, B

).

Proposition

1051

.

Conjecture

1050

is equivalent to the statement that meet

of every two complete reloids is a complete reloid.

Proof.

Let conjecture

1050

holds. Then for complete funcoids

f

and

g

we

have

f

u

g

= Compl(

f

u

g

) and thus

f

u

g

is complete.

Let meet of every two complete reloid is complete. Then Compl

f

u

Compl

g

is complete and thus it is greatest complete reloid which is less Compl

f

and less

Compl

g

what is the same as greatest complete reloid which is less than

f

and

g

that is Compl(

f

u

g

).

Theorem

1052

.

Compl

d

R

=

d

h

Compl

i

R

for every set

R

P

RLD

(

A, B

)

for every sets

A

,

B

.