background image

8.6. MONOVALUED AND INJECTIVE RELOIDS

191

The morphisms from a filter

A

to a filter

B

are triples (

A

,

B

, f

) where

f

RLD

(Base(

A

)

,

Base(

B

)) and dom

f

v A

, im

f

v B

.

The composition is defined by the formula (

B

,

C

, g

)

(

A

,

B

, f

) = (

A

,

C

, g

f

).

Identity morphism for a filter

A

is id

RLD

A

.

To prove that it is really a category is trivial.

Proposition

1031

.

RLD

is a functor from

Rel

to

RLD

.

Proof.

RLD

(

g

f

) =

RLD

g

◦ ↑

RLD

f

was proved above.

RLD

1

Rel

A

= 1

RLD

A

is

by definition.

8.6. Monovalued and injective reloids

Following the idea of definition of monovalued morphism let’s call

monovalued

such a reloid

f

that

f

f

1

v

id

RLD

im

f

.

Similarly, I will call a reloid

injective

when

f

1

f

v

id

RLD

dom

f

.

Obvious

1032

.

A reloid

f

is

monovalued iff

f

f

1

v

1

RLD

Dst

f

;

injective iff

f

1

f

v

1

RLD

Src

f

.

In other words, a reloid is monovalued (injective) when it is a monovalued

(injective) morphism of the category of reloids.

Monovaluedness is dual of injectivity.

Obvious

1033

.

1

. A morphism (

A

,

B

, f

) of the category of reloid triples is monovalued iff

the reloid

f

is monovalued.

2

. A morphism (

A

,

B

, f

) of the category of reloid triples is injective iff the

reloid

f

is injective.

Theorem

1034

.

1

. A reloid

f

is a monovalued iff there exists a

Set

-morphism (monovalued

Rel

-morphism)

F

up

f

.

2

. A reloid

f

is a injective iff there exists an injective

Rel

-morphism

F

up

f

.

3

. A reloid

f

is a both monovalued and injective iff there exists an injection

(a monovalued and injective

Rel

-morphism = injective

Set

-morphism)

F

up

f

.

Proof.

The reverse implications are obvious. Let’s prove the direct implica-

tions:

1

Let

f

be a monovalued reloid. Then

f

f

1

v

1

RLD

Dst

f

, that is

RLD

l

F

F

1

F

up

f

v

1

RLD

Dst

f

.

It’s simple to show that

n

F

F

1

F

up

f

o

is a filter base. Consequently there exists

F

up

f

such that

F

F

1

v

1

RLD

Dst

f

that is

F

is monovalued.

2

Similar.

3

Let

f

be a both monovalued and injective reloid. Then by proved above

there exist

F, G

up

f

such that

F

is monovalued and

G

is injective. Thus

F

u

G

up

f

is both monovalued and injective.