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CHAPTER 8

Reloids

8.1. Basic definitions

Definition

984

.

Let

A

,

B

be sets.

RLD

]

(

A, B

) is the base of an arbitrary but

fixed primary filtrator over

Rel

(

A, B

).

Obvious

985

.

(

RLD

]

(

A, B

)

,

Rel

(

A, B

)) is a powerset filtrator.

Definition

986

.

I call a reloid from a set

A

to a set

B

a triple (

A, B, F

) where

F

RLD

]

(

A, B

).

Definition

987

.

Source

and

destination

of every reloid (

A, B, F

) are defined

as

Src(

A, B, F

) =

A

and Dst(

A, B, F

) =

B.

I will denote

RLD

(

A, B

) the set of reloids from

A

to

B

.

I will denote

RLD

the set of all reloids (for small sets).

Definition

988

.

I will call

endoreloids

reloids with the same source and des-

tination.

Definition

989

.

• ↑

RLD

]

f

is the principal filter object corresponding to a

Rel

-morphism

f

.

• ↑

RLD

]

(

A,B

)

f

=

RLD

]

(

A, B, f

) for every binary relation

f

P

(

A

×

B

).

• ↑

RLD

f

= (Src

f,

Dst

f,

RLD

]

f

) for every

Rel

-morphism

f

.

• ↑

RLD

(

A,B

)

f

=

RLD

(

A, B, f

) for every binary relation

f

P

(

A

×

B

).

Definition

990

.

I call members of a set

RLD

Rel

(

A, B

) as

principal

reloids.

Reloids are a generalization of uniform spaces. Also reloids are generalization

of binary relations.

Definition

991

.

up

f

1

=

n

F

1

F

up

f

o

for every

f

RLD

]

(

A, B

).

Proposition

992

.

f

1

exists and

f

1

RLD

]

(

B, A

).

Proof.

We need to prove that

n

F

1

F

up

f

o

is a filter, but that’s obvious.

Definition

993

.

The

reverse

reloid of a reloid is defined by the formula

(

A, B, F

)

1

= (

B, A, F

1

)

.

Note

994

.

The reverse reloid is

not

an inverse in the sense of group theory or

category theory.

Reverse reloid is a generalization of conjugate quasi-uniformity.

Definition

995

.

Every set

RLD

(

A, B

) is a poset by the formula

f

v

g

GR

f

v

GR

g

. We will apply lattice operations to subsets of

RLD

(

A, B

) without

explicitly mentioning

RLD

(

A, B

).

Filtrators of reloids

are (

RLD

(

A, B

)

,

Rel

(

A, B

)) (for all sets

A

,

B

). Here I

equate principal reloids with corresponding

Rel

-morphisms.

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