background image

7.19. PROXIMITY SPACES

182

7.19. Proximity spaces

Fix a set

U

. Let equate typed subsets of

U

with subsets of

U

.

We will prove that proximity spaces are essentially the same as reflexive, sym-

metric, transitive funcoids.

Our primary interest here is the last axiom (

6

in the definition

794

of prox-

imity spaces.

Proposition

981

.

If

f

is a transitive, symmetric funcoid, then the last axiom

of proximity holds.

Proof.

¬

A

[

f

]

B

⇔ ¬

A

f

1

f

B

⇔ h

f

i

B

 h

f

i

A

M

U

:

M

 h

f

i

A

M

 h

f

i

B.

Proposition

982

.

For a reflexive funcoid, the last axiom of proximity implies

that it is transitive and symmetric.

Proof.

Let

¬

A

[

f

]

B

implies

M

:

M

 h

f

i

A

M

 h

f

i

B

.

Then

¬

A

[

f

]

B

implies

M

 h

f

i

A

∧ h

f

i

B

v

M

, thus

h

f

i

A

 h

f

i

B

;

¬

A

f

1

f

B

that is

f

w

f

1

f

and thus

f

=

f

1

f

. By theorem

252

f

is

transitive and symmetric.

Theorem

983

.

Reflexive, symmetric, transitive funcoids endofuncoids on a

set

U

are essentially the same as proximity spaces on

U

.

Proof.

Above and theorem

828

.