background image

7.18. FILTERS CLOSED REGARDING A FUNCOID

181

Proof.

Equivalently transform the defining formula for regular funcoids:

h

f

ih

f

1

i

C

 h

f

i

@

{

p

} ⇐↑

Src

f

{

p

}  h

f

1

i

C

;

h

f

ih

f

1

i

C

6 h

f

i

@

{

p

} ⇒↑

Src

f

{

p

} 6

f

1

C

;

(by definition of funcoids)

C

6 h

f

ih

f

1

ih

f

i

@

{

p

} ⇒

C

6 h

f

i

@

{

p

}

;

h

f

ih

f

1

ih

f

i

@

{

p

} v h

f

i

@

{

p

}

;

f

f

1

f

@

{

p

} v h

f

i

@

{

p

}

;

Compl(

f

f

1

f

)

v

Compl

f

;

Compl(

f

f

1

f

)

v

f

.

Proposition

975

.

If

f

is complete, regularity of funcoid

f

is equivalent to

f

Compl(

f

1

f

)

v

f

.

Proof.

By proposition

951

.

Remark

976

.

After seeing how it collapses into algebraic formulas about fun-

coids, the definition for a funcoid being regular seems quite arbitrary and sucked

out of the finger (not an example of algebraic elegance). So I present these formu-

las only because they coincide with the traditional definition of regular topological

spaces. However this is only my personal opinion and it may be wrong.

Definition

977

.

An endofuncoid is

T

3

- iff it is both

T

2

- and regular.

A topological space

S

is called

T

4

-separable when for any two disjoint closed

sets

A, B

S

there exist disjoint open sets

U

,

V

containing

A

and

B

respectively.

Let

f

be the complete funcoid corresponding to the topological space.

Since the closed sets are exactly sets of the form

f

1

X

and sets

X

and

Y

having non-intersecting open neighborhood is equivalent to

h

f

i

X

 h

f

i

Y

, the

above is equivalent to:

f

1

A

f

1

B

⇒ h

f

i

f

1

A

 h

f

i

f

1

B

;

h

f

i

f

1

A

6 h

f

i

f

1

B

⇒ h

f

1

i

A

6

f

1

B

;

h

f

i

f

1

h

f

i

f

1

A

6

B

⇒ h

f

i

f

1

A

6

B

;

h

f

i

f

1

h

f

i

f

1

A

v h

f

i

f

1

A

;

f

f

1

f

f

1

v

f

f

1

.

Take the last formula as the definition of

T

4

-funcoid

f

.

7.18. Filters closed regarding a funcoid

Definition

978

.

Let’s call

closed

regarding a funcoid

f

FCD

(

A, A

) such

filter

A ∈

F

(Src

f

) that

h

f

iA v A

.

This is a generalization of closedness of a set regarding an unary operation.

Proposition

979

.

If

I

and

J

are closed (regarding some funcoid

f

),

S

is a set

of closed filters on Src

f

, then

1

.

I t J

is a closed filter;

2

.

d

S

is a closed filter.

Proof.

Let denote the given funcoid as

f

.

h

f

i

(

I t J

) =

h

f

iI t h

f

iJ v I t J

,

h

f

i

d

S

v

d

hh

f

ii

S

v

d

S

. Consequently the filters

I t J

and

d

S

are closed.

Proposition

980

.

If

S

is a set of filters closed regarding a complete funcoid,

then the filter

d

S

is also closed regarding our funcoid.

Proof.

h

f

i

d

S

=

d

hh

f

ii

S

v

d

S

where

f

is the given funcoid.