background image

7.16. OPEN MAPS

179

f

f

1

p

=

h

f

i

f

1

p

w h

f

i

a

w

q

;

f

f

1

p

6v

p

and

f

f

1

p

6

=

F

(Dst

f

)

. So it cannot be

f

f

1

v

1

FCD

Dst

f

.

2

3

Obvious.

1

2

.

D

l

G

f

E

x

=

D

l

G

E

h

f

i

x

=

l

g

G

h

g

ih

f

i

x

=

l

g

G

h

g

f

i

x

=

*

l

g

G

(

g

f

)

+

x

for every atomic filter object

x

atoms

F

(Src

f

)

. Thus (

d

G

)

f

=

d

g

G

(

g

f

).

3

1

Take

g

=

a

×

FCD

y

and

h

=

b

×

FCD

y

for arbitrary atomic filter objects

a

6

=

b

and

y

. We have

g

u

h

=

; thus (

g

f

)

u

(

h

f

) = (

g

u

h

)

f

=

and

thus impossible

x

[

f

]

a

x

[

f

]

b

as otherwise

x

[

g

f

]

y

and

x

[

h

f

]

y

so

x

[(

g

f

)

u

(

h

f

)]

y

. Thus

f

is monovalued.

Corollary

962

.

A binary relation corresponds to a monovalued funcoid iff it

is a function.

Proof.

Because

I, J

P

(im

f

) :

f

1

(

I

u

J

) =

f

1

I

u

f

1

J

is true

for a funcoid

f

corresponding to a binary relation if and only if it is a function (see

proposition

388

).

Remark

963

.

This corollary can be reformulated as follows: For binary rela-

tions (principal funcoids) the classic concept of monovaluedness and monovalued-

ness in the above defined sense of monovaluedness of a funcoid are the same.

Theorem

964

.

If

f

,

g

are funcoids,

f

v

g

and

g

is monovalued then

g

|

dom

f

=

f

.

Proof.

Obviously

g

|

dom

f

w

f

. Suppose for contrary that

g

|

dom

f

@

f

. Then

there exists an atom

a

atoms dom

f

such that

h

g

|

dom

f

i

a

6

=

h

f

i

a

that is

h

g

i

a

@

h

f

i

a

what is impossible.

7.16. Open maps

Definition

965

.

An

open map

from a topological space to a topological space

is a function which maps open sets into open sets.

An obvious generalization of this is

open map

f

from an endofuncoid

µ

to an

endofuncoid

ν

, which is by definition a function (or rather a principal, entirely

defined, monovalued funcoid) from Ob

µ

to Ob

ν

such that

x

Ob

µ, V

∈ h

µ

i

{

x

}

:

h

f

i

V

w h

ν

ih

f

i

@

{

x

}

.

This formula is equivalent (exercise!) to

x

Ob

µ

:

h

f

ih

µ

i

@

{

x

} w h

ν

ih

f

i

@

{

x

}

.

It can be abstracted/simplified further (now for an

arbitrary

funcoid

f

from

Ob

µ

to Ob

ν

):

Compl(

f

µ

)

w

Compl(

ν

f

)

.

Definition

966

.

An

open funcoid

from an endofuncoid

µ

to an endofuncoid

ν

is a funcoid

f

from Ob

µ

to Ob

ν

such that Compl(

f

µ

)

w

Compl(

ν

f

).

Obvious

967

.

A funcoid

f

is open iff

f

µ

w

Compl(

ν

f

).

Theorem

968

.

Let

µ

,

ν

,

π

be endofuncoids. Let

f

be an principal monovalued

open funcoid from Ob

µ

to Ob

ν

and

g

is a open funcoid from Ob

ν

to Ob

π

. Then

g

f

is an open funcoid from Ob

µ

to Ob

π

.