background image

7.15. MONOVALUED AND INJECTIVE FUNCOIDS

178

In other words, a funcoid is monovalued (injective) when it is a monovalued

(injective) morphism of the category of funcoids. Monovaluedness is dual of injec-

tivity.

Obvious

960

.

1

. A morphism (

A

,

B

, f

) of the category of funcoid triples is monovalued iff

the funcoid

f

is monovalued.

2

. A morphism (

A

,

B

, f

) of the category of funcoid triples is injective iff the

funcoid

f

is injective.

Theorem

961

.

The following statements are equivalent for a funcoid

f

:

1

.

f

is monovalued.

2

. It is metamonovalued.

3

. It is weakly metamonovalued.

4

.

a

atoms

F

(Src

f

)

:

h

f

i

a

atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

.

5

.

∀I

,

J ∈

F

(Dst

f

) :

f

1

(

I u J

) =

f

1

I u

f

1

J

.

6

.

I, J

T

(Dst

f

) :

f

1

(

I

u

J

) =

f

1

I

u

f

1

J

.

Proof.

4

5

Let

a

atoms

F

(Src

f

)

,

h

f

i

a

=

b

.

Then because

b

atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

(

I u J

)

u

b

6

=

⊥ ⇔ I u

b

6

=

⊥ ∧ J u

b

6

=

;

a

[

f

]

I u J ⇔

a

[

f

]

I ∧

a

[

f

]

J

;

I u J

f

1

a

⇔ I

f

1

a

∧ J

f

1

a

;

a

u

f

1

(

I u J

)

6

=

⊥ ⇔

a

u

f

1

I 6

=

⊥ ∧

a

u

f

1

J 6

=

;

f

1

(

I u J

) =

f

1

I u

f

1

J

.

5

1

.

f

1

a

u

f

1

b

=

f

1

(

a

u

b

) =

f

1

=

for every two distinct

atomic filter objects

a

and

b

on Dst

f

. This is equivalent to

¬

(

f

1

a

[

f

]

b

);

b

 h

f

i

f

1

a

;

b

f

f

1

a

;

¬

(

a

f

f

1

b

). So

a

f

f

1

b

a

=

b

for every ultrafilters

a

and

b

. This is possible only when

f

f

1

v

1

FCD

Dst

f

.

6

5

.

f

1

(

I u J

) =

l

h

f

i

up(

I u J

) =

l

h

f

i

I

u

J

I

up

I

, J

up

J

=

l

h

f

i

(

I

u

J

)

I

up

I

, J

up

J

=

l

h

f

i

I

u h

f

i

J

I

up

I

, J

up

J

=

l

h

f

i

I

I

up

I

u

l

h

f

i

J

J

up

J

=

f

1

I u

f

1

J

.

5

6

Obvious.

¬

4

⇒¬

1

Suppose

h

f

i

a /

atoms

F

(Dst

f

)

∪{⊥

F

(Dst

f

)

}

for some

a

atoms

F

(Src

f

)

.

Then there exist two atomic filters

p

and

q

on Dst

f

such that

p

6

=

q

and

h

f

i

a

w

p

∧ h

f

i

a

w

q

. Consequently

p

6 h

f

i

a

;

a

6

f

1

p

;

a

v

f

1

p

;