background image

7.15. MONOVALUED AND INJECTIVE FUNCOIDS

177

2

(CoCompl(

g

f

))

1

=

f

1

(CoCompl

g

)

1

; Compl(

g

f

)

1

=

f

1

Compl

g

1

; Compl(

f

1

g

1

) =

f

1

Compl

g

1

. After variable replacement we

get Compl(

f

g

) =

f

Compl

g

(after the replacement

f

is a complete funcoid).

Corollary

952

.

For every composable funcoids

f

and

g

1

. Compl

f

Compl

g

= Compl(Compl

f

g

).

2

. CoCompl

g

CoCompl

f

= CoCompl(

g

CoCompl

f

).

Proposition

953

.

For every composable funcoids

f

and

g

1

. Compl(

g

f

) = Compl(

g

(Compl

f

));

2

. CoCompl(

g

f

) = CoCompl((CoCompl

g

)

f

).

Proof.

1

.

h

g

(Compl

f

)

i

@

{

x

}

=

h

g

ih

Compl

f

i

@

{

x

}

=

h

g

ih

f

i

@

{

x

}

=

h

g

f

i

@

{

x

}

.

Thus Compl(

g

(Compl

f

)) = Compl(

g

f

).

2

(Compl(

g

(Compl

f

))

1

= (Compl(

g

f

))

1

; CoCompl(

g

(Compl

f

))

1

=

CoCompl(

g

f

)

1

; CoCompl((Compl

f

)

1

g

1

) = CoCompl(

f

1

g

1

);

CoCompl((CoCompl

f

1

)

g

1

) = CoCompl(

f

1

g

1

). After variable replace-

ment CoCompl((CoCompl

g

)

f

) = CoCompl(

g

f

).

Theorem

954

.

The filtrator of funcoids (from a given set

A

to a given set

B

)

is with co-separable core.

Proof.

Let

f, g

FCD

(

A, B

) and

f

t

g

=

>

. Then for every

X

T

A

we

have

h

f

i

X

t h

g

i

X

=

> ⇔

Cor

h

f

i

X

t

Cor

h

g

i

X

=

> ⇔

h

CoCompl

f

i

X

t h

CoCompl

g

i

X

=

>

.

Thus

h

CoCompl

f

t

CoCompl

g

i

X

=

>

;

f

t

g

=

> ⇒

CoCompl

f

t

CoCompl

g

=

>

.

(14)

Applying the dual of the formulas (

14

to the formula (

14

we get:

f

t

g

=

> ⇒

Compl CoCompl

f

t

Compl CoCompl

g

=

>

that is

f

t

g

=

> ⇒

Cor

f

t

Cor

g

=

>

. So

FCD

(

A, B

) is with co-separable core.

Corollary

955

.

The filtrator of complete funcoids is also with co-separable

core.

7.15. Monovalued and injective funcoids

Following the idea of definition of monovalued morphism let’s call

monovalued

such a funcoid

f

that

f

f

1

v

id

FCD

im

f

.

Similarly, I will call a funcoid injective when

f

1

f

v

id

FCD

dom

f

.

Obvious

956

.

A funcoid

f

is:

1

. monovalued iff

f

f

1

v

1

FCD

Dst

f

;

2

. injective iff

f

1

f

v

1

FCD

Src

f

.