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7.12. COMPLETE FUNCOIDS

170

1

.

α

=

;

2

.

I, J

T

A

:

α

(

I

t

J

) =

αI

t

αJ

.

Obvious

913

.

A funcoid

f

is co-complete iff

h

f

i

=

↑ ◦

α

for a generalized

closure

α

.

Remark

914

.

Thus funcoids can be considered as a generalization of general-

ized closures. A topological space in Kuratowski sense is the same as reflexive and

transitive generalized closure. So topological spaces can be considered as a special

case of funcoids.

Definition

915

.

I will call a

complete funcoid

a funcoid whose reverse is co-

complete.

Theorem

916

.

The following conditions are equivalent for every funcoid

f

:

1

. funcoid

f

is complete;

2

.

S

PF

(Src

f

)

, J

T

(Dst

f

) : (

d

S

[

f

]

J

⇔ ∃I ∈

S

:

I

[

f

]

J

);

3

.

S

PT

(Src

f

)

, J

T

(Dst

f

) :

d

S

[

f

]

J

⇔ ∃

I

S

:

I

[

f

]

J

;

4

.

S

PF

(Src

f

) :

h

f

i

d

S

=

d

hh

f

ii

S

;

5

.

S

PT

(Src

f

) :

h

f

i

d

S

=

d

h

f

i

S

;

6

.

A

T

(Src

f

) :

h

f

i

A

=

d

a

atoms

A

h

f

i

a

.

Proof.

3

1

For every

S

PT

(Src

f

),

J

T

(Dst

f

)

l

S

u

f

1

J

6

=

⊥ ⇔ ∃

I

S

:

I

u

f

1

J

6

=

,

consequently by theorem

580

we have that

f

1

J

is a principal filter.

1

2

For every

S

PF

(Src

f

),

J

T

(Dst

f

) we have that

f

1

J

is a

principal filter, consequently

l

S

u

f

1

J

6

=

⊥ ⇔ ∃I ∈

S

:

I u

f

1

J

6

=

.

From this follows

2

.

6

5

.

h

f

i

l

S

=

l

a

atoms

d

S

h

f

i

a

=

l

[

A

S

h

f

i

a

a

atoms

A

=

l

A

S

l

a

atoms

A

h

f

i

a

=

l

A

S

h

f

i

A

=

l

h

f

i

S.

2

4

Using theorem

580

,

J

6 h

f

i

l

S

l

S

[

f

]

J

∃I ∈

S

:

I

[

f

]

J

∃I ∈

S

:

J

6 h

f

iI ⇔

J

6

l

hh

f

ii

S.