background image

7.8. CATEGORIES OF FUNCOIDS

159

Proof.

im

f

=

h

f

i>

=

F

l

F

up

f

h

F

i>

=

F

l

F

up

f

im

F

=

F

l

h

im

i

up

f.

The second formula follows from symmetry.

Proposition

870

.

For every composable funcoids

f

,

g

:

1

. If im

f

w

dom

g

then im(

g

f

) = im

g

.

2

. If im

f

v

dom

g

then dom(

g

f

) = dom

f

.

Proof.

1

.

im(

g

f

) =

h

g

f

i>

=

h

g

ih

f

i>

=

h

g

i

im

f

=

h

g

i

(im

f

u

dom

g

) =

h

g

i

dom

g

=

h

g

i>

=

im

g.

2

dom(

g

f

) = im(

f

1

g

1

) what by proved above is equal to im

f

1

that

is dom

f

.

7.8. Categories of funcoids

I will define two categories, the

category of funcoids

and the

category of funcoid

triples

.

The

category of funcoids

is defined as follows:

Objects are small sets.

The set of morphisms from a set

A

to a set

B

is

FCD

(

A, B

).

The composition is the composition of funcoids.

Identity morphism for a set is the identity funcoid for that set.

To show it is really a category is trivial.

The

category of funcoid triples

is defined as follows:

Objects are filters on small sets.

The morphisms from a filter

A

to a filter

B

are triples (

A

,

B

, f

) where

f

FCD

(Base(

A

)

,

Base(

B

)) and dom

f

v A ∧

im

f

v B

.

The composition is defined by the formula (

B

,

C

, g

)

(

A

,

B

, f

) = (

A

,

C

, g

f

).

Identity morphism for a filter

A

is id

FCD

A

.

To prove that it is really a category is trivial.