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7.6. MORE ON COMPOSITION OF FUNCOIDS

155

1

.

X

h

l

R

i

Y

Y

u

D

l

R

E

X

6

=

⊥ ⇔

Y

u

l

f

R

h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

f

R

:

Y

u h

f

i

X

6

=

⊥ ⇔

f

R

:

X

[

f

]

Y

(used proposition

607

).

In the next theorem, compared to the previous one, the class of infinite joins is

replaced with lesser class of binary joins and simultaneously class of sets is changed

to more wide class of filters.

Theorem

850

.

For every

f, g

FCD

(

A, B

) and

X ∈

F

(

A

) (for every sets

A

,

B

)

1

.

h

f

t

g

iX

=

h

f

iX t h

g

iX

;

2

. [

f

t

g

] = [

f

]

[

g

].

Proof.

1

Let

α

X

def

=

h

f

iX t h

g

iX

;

β

Y

def

=

f

1

Y t

g

1

Y

for every

X ∈

F

(

A

),

Y ∈

F

(

B

). Then

Y u

α

X 6

=

⊥ ⇔

Y u h

f

iX 6

=

⊥ ∨ Y u h

g

iX 6

=

⊥ ⇔

X u

f

1

Y 6

=

⊥ ∨ X u

g

1

Y 6

=

⊥ ⇔

X u

β

Y 6

=

.

So

h

= (

A, B, α, β

) is a funcoid. Obviously

h

w

f

and

h

w

g

. If

p

w

f

and

p

w

g

for some funcoid

p

then

h

p

iX w h

f

iX t h

g

iX

=

h

h

iX

that is

p

w

h

. So

f

t

g

=

h

.

2

For every

X ∈

F

(

A

),

Y ∈

F

(

B

) we have

X

[

f

t

g

]

Y ⇔

Y u h

f

t

g

iX 6

=

⊥ ⇔

Y u

(

h

f

iX t h

g

iX

)

6

=

⊥ ⇔

Y u h

f

iX 6

=

⊥ ∨ Y u h

g

iX 6

=

⊥ ⇔

X

[

f

]

Y ∨ X

[

g

]

Y

.

7.6. More on composition of funcoids

Proposition

851

.

[

g

f

] = [

g

]

◦ h

f

i

=

g

1

1

[

f

] for every composable

funcoids

f

and

g

.