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7.5. LATTICES OF FUNCOIDS

154

Proof.

F

l

F

up

f

h

F

iX

=

F

l

F

up

f

F

l

h

F

i

up

X

=

F

l

F

up

f

F

l

X

up

X

h

F

i

X

=

F

l

X

up

X

F

l

F

up

f

h

F

i

X

=

F

l

X

up

X

h

f

i

X

=

h

f

iX

(the lemma used).

Below it is shown that

FCD

(

A, B

) are complete lattices for every sets

A

and

B

.

We will apply lattice operations to subsets of such sets without explicitly mentioning

FCD

(

A, B

).

Theorem

849

.

FCD

(

A, B

) is a complete lattice (for every sets

A

and

B

). For

every

R

P

FCD

(

A, B

) and

X

T

A

,

Y

T

B

1

.

X

[

d

R

]

Y

⇔ ∃

f

R

:

X

[

f

]

Y

;

2

.

h

d

R

i

X

=

d

f

R

h

f

i

X

.

Proof.

Accordingly [

27

to prove that it is a complete lattice it’s enough to

prove existence of all joins.

2

.

αX

def

=

d

f

R

h

f

i

X

. We have

α

=

;

α

(

I

t

J

) =

l

f

R

h

f

i

(

I

t

J

) =

l

f

R

(

h

f

i

I

t h

f

i

J

) =

l

f

R

h

f

i

I

t

l

h

f

i

J

=

αI

t

αJ.

So

h

h

i

=

α

for some funcoid

h

. Obviously

f

R

:

h

w

f.

(9)

And

h

is the least funcoid for which holds the condition (

9

). So

h

=

d

R

.