background image

CHAPTER 7

Funcoids

In this chapter (and several following chapters) the word

filter

will refer to a

filter (or equivalently any filter object) on a set (rather than a filter on an arbitrary

poset).

7.1. Informal introduction into funcoids

Funcoids are a generalization of proximity spaces and a generalization of pre-

topological spaces. Also funcoids are a generalization of binary relations.

That funcoids are a common generalization of “spaces” (proximity spaces,

(pre)topological spaces) and binary relations (including monovalued functions)

makes them smart for describing properties of functions in regard of spaces. For

example the statement “

f

is a continuous function from a space

µ

to a space

ν

can be described in terms of funcoids as the formula

f

µ

v

ν

f

(see below for

details).

Most naturally funcoids appear as a generalization of proximity spaces.

1

Let

δ

be a proximity. We will extend the relation

δ

from sets to filters by the

formula:

A

δ

0

B ⇔ ∀

A

up

A

, B

up

B

:

A δ B.

Then (as it will be proved below) there exist two functions

α, β

F

F

such

that

A

δ

0

B ⇔ B u

α

A 6

=

F

⇔ A u

β

B 6

=

F

.

The pair (

α, β

) is called

funcoid

when

B u

α

A 6

=

F

⇔ A u

β

B 6

=

F

. So

funcoids are a generalization of proximity spaces.

Funcoids consist of two components the first

α

and the second

β

. The first

component of a funcoid

f

is denoted as

h

f

i

and the second component is denoted

as

f

1

. (The similarity of this notation with the notation for the image of a

set under a function is not a coincidence, we will see that in the case of principal

funcoids (see below) these coincide.)

One of the most important properties of a funcoid is that it is uniquely deter-

mined by just one of its components. That is a funcoid

f

is uniquely determined

by the function

h

f

i

. Moreover a funcoid

f

is uniquely determined by values of

h

f

i

on principal filters.

Next we will consider some examples of funcoids determined by specified values

of the first component on sets.

Funcoids as a generalization of pretopological spaces: Let

α

be a pretopological

space that is a map

α

F

f

for some set

f

. Then we define

α

0

X

=

d

x

X

αx

for

every set

X

P

f

. We will prove that there exists a unique funcoid

f

such

that

α

0

=

h

f

i|

P

◦ ↑

where

P

is the set of principal filters on

f

. So funcoids are

a generalization of pretopological spaces. Funcoids are also a generalization of

preclosure operators: For every preclosure operator

p

on a set

f

it exists a unique

funcoid

f

such that

h

f

i|

P

◦ ↑

=

↑ ◦

p

.

1

In fact I discovered funcoids pondering on topological spaces, not on proximity spaces, but

this is only of a historic interest.

144