background image

6.3. TOPOLOGICAL SPACES

139

Having a pretopological space (

U,

∆) we define a topological space whose open

sets are

X

P

U

x

X

:

X

up ∆(

x

)

.

Proposition

787

.

This really defines a topology.

Proof.

Let set

S

n

X

P

U

x

X

:

X

up ∆(

x

)

o

. Then

X

S

x

X

:

X

up ∆(

x

).

Thus

x

[

S

X

S

:

X

up ∆(

x

)

and so

x

S

S

:

S

S

up ∆(

x

). So

S

S

is an open set.

Let now

A

0

, . . . , A

n

n

X

P

U

x

X

:

X

up ∆(

x

)

o

for

n

N

. Then

x

A

i

:

A

i

up ∆(

x

) and so

x

A

0

∩ · · · ∩

A

n

:

A

i

up ∆(

x

);

thus

x

A

0

∩ · · · ∩

A

n

:

A

0

∩ · · · ∩

A

n

up ∆(

x

). So

A

0

∩ · · · ∩

A

n

n

X

P

U

x

X

:

X

up ∆(

x

)

o

.

That

U

is an open set is obvious.

Proposition

788

.

Topology

τ

defined by a pretopology and topology

ρ

defined

by the corresponding preclosure, are the same.

Proof.

Let

A

P

U

.

A

is

ρ

-closed

cl(

A

) =

A

cl(

A

)

A

⇔ ∀

x

U

: (

A

∆(

x

)

x

A

);

A

is

τ

-open

x

A

:

A

up ∆(

x

)

x

U

: (

x

A

A

up ∆(

x

))

x

U

: (

x /

U

\

A

U

\

A /

∆(

x

))

.

So

ρ

-closed and

τ

-open sets are complements of each other. It follows

ρ

=

τ

.

6.3.1.2.

Preclosure space induced by topological space.

We define a preclosure

and a pretopology induced by a topology and then show these two are equivalent.

Having a topological space we define a preclosure space by the formula

cl(

A

) =

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

.

Proposition

789

.

It is really a preclosure.

Proof.

cl(

) =

because

is a closed set. cl(

A

)

A

is obvious.

cl(

A

B

) =

\

X

P

U

X

is a closed set

, X

A

B

=

\

X

1

X

2

X

1

, X

2

P

U

are closed sets

, X

1

A, X

2

B

=

\

X

1

P

U

X

1

is a closed set

, X

1

A

\

X

2

P

U

X

2

is a closed set

, X

2

B

=

cl(

A

)

cl(

B

)

.

Thus cl is a preclosure.

Or: ∆(

x

) =

d

F

X

∈O

x

X

 

.

It is trivially a pretopology (used the fact that

U

∈ O

).