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6.2. PRETOPOLOGICAL SPACES

137

It is left to prove that the functions defined by the above formulas are mutually

inverse.

Let cl

0

be a preclosure, let ∆ be the pretopology induced by cl

0

by the formula

(

4

), let cl

1

be the preclosure induced by ∆ by the formula (

3

). Let’s prove cl

1

= cl

0

.

Really,

x

cl

1

(

A

)

∆(

x

)

6↑

U

A

X

up ∆(

x

) :

X

A

6

=

∅ ⇔

X

P

U

: (

x /

cl

0

(

U

\

X

)

X

A

6

=

)

X

0

P

U

: (

x /

cl

0

(

X

0

)

A

\

X

0

6

=

)

X

0

P

U

: (

A

\

X

0

=

∅ ⇒

x

cl

0

(

X

0

))

X

0

P

U

: (

A

X

0

x

cl

0

(

X

0

))

x

cl

0

(

A

)

.

So cl

1

(

A

) = cl

0

(

A

).

Let now ∆

0

be a pretopology, let cl be the closure induced by ∆

0

by the formula

(

3

), let ∆

1

be the pretopology induced by cl by the formula (

4

). Really

A

up ∆

1

(

x

)

x /

cl(

U

\

A

)

0

(

x

)

U

(

U

\

A

)

(proposition

548

)

U

A

w

0

(

x

)

A

up ∆

0

(

x

)

.

So ∆

1

(

x

) = ∆

0

(

x

).

That these functions are mutually inverse, is now proved.

6.2.1. Pretopology induced by a metric.

Every metric space induces a

pretopology by the formula:

∆(

x

) =

F

U

l

B

r

(

x

)

r

R

, r >

0

.

Exercise

775

.

Show that it is a pretopology.

Proposition

776

.

The preclosure corresponding to this pretopology is the

same as the preclosure of the metric space.

Proof.

I denote the preclosure of the metric space as cl

M

and the preclosure

corresponding to our pretopology as cl

P

. We need to show cl

P

= cl

M

. Really:

cl

P

(

A

) =

x

U

A

∆(

x

)

=

x

U

 >

0 :

B

(

x

)

6

A

=

y

U

 >

0

a

A

:

d

(

y, a

)

=

cl

M

(

A

)

for every set

A

P

U

.