background image

6.2. PRETOPOLOGICAL SPACES

136

6.1.1. Open and closed sets.

Definition

765

.

A set

A

in a metric space is called

open

when

a

A

r >

0 :

B

r

(

a

)

A

.

Definition

766

.

A set

A

in a metric space is closed when its complement

U

\

A

is open.

Exercise

767

.

Show that: closed intervals on real line are closed sets, open

intervals are open sets.

Exercise

768

.

Show that open balls are open and closed balls are closed.

Definition

769

.

Closure cl(

A

) of a set

A

in a metric space is the set of points

y

such that

 >

0

a

A

:

d

(

y, a

)

< .

Proposition

770

.

cl(

A

)

A

.

Proof.

It follows from

d

(

a, a

) = 0

.

Exercise

771

.

Prove cl(

A

B

) = cl(

A

)

cl(

B

) for every subsets

A

and

B

of

a metric space.

6.2. Pretopological spaces

Pretopological space

can be defined in two equivalent ways: a

neighborhood

system

or a

preclosure operator

. To be more clear I will call

pretopological space

only the first (neighborhood system) and the second call a

preclosure space

.

Definition

772

.

Pretopological space

is a set

U

together with a filter ∆(

x

)

on

U

for every

x

U

, such that

U

{

x

} v

∆(

x

). ∆ is called a

pretopology

on

U

.

Elements of up ∆(

x

) are called

neighborhoods

of point

x

.

Definition

773

.

Preclosure

on a set

U

is a unary operation cl on

P

U

such

that for every

A, B

P

U

:

1

. cl(

) =

;

2

. cl(

A

)

A

;

3

. cl(

A

B

) = cl(

A

)

cl(

B

).

I call a preclosure together with a set

U

as

preclosure space

.

Theorem

774

.

Small pretopological spaces and small preclosure spaces bijec-

tively correspond to each other by the formulas:

cl(

A

) =

x

U

A

∆(

x

)

;

(3)

up ∆(

x

) =

A

P

U

x /

cl(

U

\

A

)

.

(4)

Proof.

First let’s prove that cl defined by formula (

3

is really a preclosure.

cl(

) =

is obvious. If

x

A

then

A

∆(

x

) and so cl(

A

)

A

. cl(

A

B

) =

n

x

U

A

B

∆(

x

)

o

=

n

x

U

A

∆(

x

)

B

∆(

x

)

o

= cl(

A

)

cl(

B

). So, it is really a preclosure.

Next let’s prove that ∆ defined by formula (

4

is a pretopology. That up ∆(

x

)

is an upper set is obvious. Let

A, B

up ∆(

x

). Then

x /

cl(

U

\

A

)

x /

cl(

U

\

B

);

x /

cl(

U

\

A

)

cl(

U

\

B

) = cl((

U

\

A

)

(

U

\

B

)) = cl(

U

\

(

A

B

));

A

B

up ∆(

x

).

We have proved that ∆(

x

) is a filter object.

Let’s prove

U

{

x

} v

∆(

x

). If

A

up ∆(

x

) then

x /

cl(

U

\

A

) and consequently

x /

U

\

A

;

x

A

;

A

up

U

{

x

}

. So

U

{

x

} v

∆(

x

) and thus ∆ is a pretopology.