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5.39. EQUIVALENT FILTERS AND REBASE OF FILTERS

132

Figure 5.

F

(

DB

)

n

X ∈

F

(

Z

)

B

∈X

o

unfixed filter

X

B

S

X

 

x

7→

[

x

]

S

X 7→h

B

ui

X

=

X ∩

P

B

X 7→X ÷

B

S

5.39.6. The lattice of unfixed filters.

Theorem

736

.

Every nonempty set of unfixed filters has an infimum, provided

that the lattice

Z

is distributive.

Proof.

Theorem

517

.

Theorem

737

.

Every bounded above set of unfixed filters has a supremum.

Proof.

Theorem

512

for nonempty sets of unfixed filters. The join

d

= [

]

for the least filter

⊥ ∈

Z

(

DA

) for arbitrary

A

Z

.

Corollary

738

.

If

Z

is the set of small sets, then every small set of unfixed

filters has a supremum.

Proof.

Let

S

be a set of filters on

Z

. Then

T

X

∈ X

is a small set for every

X ∈

S

. Thus

T

X

X ∈

S

 

is small set and thus

T

=

S

T

X

X ∈

S

 

is small set. Take the filter

T

=

T

. Then

T

is an upper bound of

S

and we can apply the theorem.

Obvious

739

.

The poset of unfixed filters for the lattice of small sets is bounded

below (but not above).

Proposition

740

.

The set of unfixed filters forms a co-brouwerian (and thus

distributive) lattice, provided that

Z

is distributive lattice which is an ideal base.

Proof.

Corollary

528

.

5.39.7. Principal unfixed filters and filtrator of unfixed filters.

Definition

741

.

Principal

unfixed filter is an unfixed filter corresponding to

a principal filter on the poset

Z

.

Definition

742

.

The

filtrator of unfixed filters

is the filtrator whose base are

unfixed filters and whose core are principal unfixed filters.

We will equate principal unfixed filters with corresponding sets.

Theorem

743

.

If we add principal filters on

DB

, principal filters on

Z

con-

taining

B

, and above defined principal unfixed filters corresponding to them to

appropriate nodes of the diagram

5

then the diagram turns into a commutative

diagram of isomorphisms between filtrators. (I will not draw the modified diagram

for brevity.)

Every arrow of this diagram is an isomorphism between filtrators, every cycle

in the diagram is identity.

Proof.

We need to prove only that principal filters on

B

and principal filters

on

Z

containing

B

correspond to each other by the isomorphisms of the diagram.

But that’s obvious.

Obvious

744

.

The filtrator of unfixed filters is a primary filtrator.