background image

5.36. SOME COUNTER-EXAMPLES

125

All

E

r

1

and

E

r

2

are distinct for distinct

r

1

, r

2

R

since we may consider

F

=

{

r

0

} ∈

C

where a rational number

r

0

is between

r

1

and

r

2

and thus

F

is a

member of exactly one of the sets

E

r

1

and

E

r

2

. Thus card

E

r

r

R

 

=

c

.

We will show that

E

r

r

R

 

is independent. Let

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

be distinct

reals. It is enough to show that these have a nonempty intersection, that is existence

of some

F

such that

F

belongs to all the

E

r

and none of

E

s

.

But this can be easily accomplished taking

F

having zero or one element in

each of intervals to which

r

1

, . . . , r

k

, s

1

, . . . , s

k

split the real line.

Example

695

.

There exists a weak partition of a filter on a set which is not a

strong partition.

Proof.

(suggested by

Andreas Blass

) Let

X

r

r

R

 

be an independent family

of subsets of

N

. We can assume

a

6

=

b

X

a

6

=

X

b

due the above lemma.

Let

F

a

be a filter generated by

X

a

and the complements

N

\

X

b

for all

b

R

,

b

6

=

a

. Independence implies that

F

a

6

=

A

(by properties of filter bases).

Let

S

=

F

r

r

R

 

. We will prove that

S

is a weak partition but not a strong

partition.

Let

a

R

. Then

X

a

∈ F

a

while

b

R

\ {

a

}

:

N

\

X

a

∈ F

b

and therefore

N

\

X

a

d

A

n

F

b

R

3

b

6

=

a

o

. Therefore

F

a

u

A

d

A

n

F

b

R

3

b

6

=

a

o

=

A

. Thus

S

is a weak

partition.

Suppose

S

is a strong partition. Then for each set

Z

P

R

A

l

F

b

b

Z

u

A

A

l

F

b

b

R

\

Z

=

A

what is equivalent to existence of

M

(

Z

)

P

N

such that

M

(

Z

)

A

l

F

b

b

Z

and

N

\

M

(

Z

)

A

l

F

b

b

R

\

Z

that is

b

Z

:

M

(

Z

)

∈ F

b

and

b

R

\

Z

:

N

\

M

(

Z

)

∈ F

b

.

Suppose

Z

6

=

Z

0

P

N

. Without loss of generality we may assume that some

b

Z

but

b /

Z

0

. Then

M

(

Z

)

∈ F

b

and

N

\

M

(

Z

0

)

∈ F

b

. If

M

(

Z

) =

M

(

Z

0

) then

F

b

=

A

what contradicts to the above.

So

M

is an injective function from

P

R

to

P

N

what is impossible due cardi-

nality issues.

Lemma

696

.

(by

Niels Diepeveen

, with help of

Karl Kronenfeld

) Let

K

be a collection of nontrivial ultrafilters. We have

d

K

= Ω iff

∃G ∈

K

:

A

up

G

for every infinite set

A

.

Proof.

. Suppose

d

K

= Ω and let

A

be a set such that

@

G ∈

K

:

A

up

G

. Let’s prove

A

is finite.

Really,

∀G ∈

K

:

U

\

A

up

G

;

U

\

A

up Ω;

A

is finite.

. Let

∃G ∈

K

:

A

up

G

. Suppose

A

is a set in up

d

K

.

To finish the proof it’s enough to show that

U

\

A

is finite.

Suppose

U

\

A

is infinite. Then

∃G ∈

K

:

U

\

A

up

G

;

∃G ∈

K

:

A /

up

G

;

A /

up

d

K

, contradiction.

Lemma

697

.

(by

Niels Diepeveen

) If

K

is a non-empty set of ultrafilters

such that

d

K

= Ω, then for every

G ∈

K

we have

d

(

K

\ {G}

) = Ω.