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5.36. SOME COUNTER-EXAMPLES

123

Figure 3.

1

a

x

y

0

Proof.

(with help of sci.math partakers) Consider a poset with the Hasse

diagram

4

.

Figure 4.

a

b

p

q

r

Then

?p

=

{

p, a, b

}

,

?q

=

{

q, a, b

}

,

?r

=

{

r, b

}

,

?a

=

{

p, q, a, b

}

,

?b

=

{

p, q, a, b, r

}

.

Thus

?x

=

?y

x

=

y

for any

x

,

y

in our poset.

?a

?b

but not

a

v

b

.

Example

686

.

There is a prefiltered filtrator which is not filtered.

Proof.

(

Matthias Klupsch

) Take

A

=

{

a, b

}

with the order being equality

and

Z

=

{

b

}

. Then up

a

=

∅ v {

b

}

= up

b

, so up is injective, hence the filtrator is

prefiltered, but because of

a

6v

b

the filtrator is not filtered.

For further examples we will use the filter ∆ defined by the formula

∆ =

A

l

]

;

[

R

,  >

0

and more general

∆ +

a

=

A

l

]

a

;

a

+

[

R

,  >

0

.

Example

687

.

There exists

A

P

U

such that

d

A

A

6

=

d

A

.

Proof.

d

Z

n

]

;

[

R

,>

0

o

=

↑ {

0

} 6

= ∆.

Example

688

.

There exists a set

U

and a filter

a

and a set

S

of filters on the

set

U

such that

a

u

A

d

A

S

6

=

d

A

a

u

A

S

.

Proof.

Let

a

= ∆ and

S

=

n

R

]

;+

[

>

0

o

. Then

a

u

A

d

A

S

= ∆

u

A

]0; +

[)

6

=

A

while

d

A

a

u

A

S

=

d

A

{⊥

A

}

=

A

.