background image

5.36. SOME COUNTER-EXAMPLES

122

3

4

.

f

is a lower bound of

S

by definition.

Let

g

be a lower bound of

S

. Then for every

X

up

f

there we have

g

v

X

that is

X

up

g

. Thus up

f

up

g

and thus

f

w

g

that is

f

is the

greatest lower bound of

S

.

Proposition

682

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

4

. If

S

is a base on a filtrator, then

d

A

S

exists and up

d

A

S

=

S

K

S

up

K

.

Proof.

1

2

,

2

3

Obvious.

3

4

.

d

A

S

exists because our filtrator is filtered. Above we proved that

S

is a

base of

d

A

S

. That

S

K

S

up

K

up

d

A

S

is obvious. If

X

up

d

A

S

then by properties of bases we have

K

S

such that

K

v

X

. Thus

X

up

K

and so

X

S

K

S

up

K

. So up

d

A

S

S

K

S

up

K

.

Proposition

683

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a meet-semilattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator with binarily meet-closed core such that

a

A

:

up

a

6

=

.

4

. A base on the filtrator (

A

;

Z

) is the same as base of a filter (on

Z

).

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Corollary

533

.

3

4

.

. Let

S

be a base of

f

on the filtrator (

A

;

Z

). Then for every

a, b

S

we

have

a, b

up

f

and thus

a

u

Z

b

=

a

u

A

b

up

f

. Thus

x

S

:

x

v

a

u

Z

b

that is

x

v

a

x

v

b

. It remains to show that

S

is nonempty,

but this follows from up

a

being nonempty.

. Let

S

be a base of filter

f

(on

Z

). Let

X

up

f

. Then there is

T

S

such that

T

v

X

.

5.36. Some Counter-Examples

Example

684

.

There exist a bounded distributive lattice which is not lattice

with separable center.

Proof.

The lattice with the Hasse diagram

2

on figure

3

is bounded and dis-

tributive because it does not contain “diamond lattice” nor “pentagon lattice” as a

sublattice [

43

].

It’s center is

{

0

,

1

}

.

x

u

y

= 0 despite up

x

=

{

x, a,

1

}

but

y

u

1

6

= 0 consequently

the lattice is not with separable center.

In this section

A

denotes the set of filters on a set.

Example

685

.

There is a separable poset (that is a set with

?

being an injec-

tion) which is not strongly separable (that is

?

isn’t order reflective).

2

See Wikipedia for a definition of Hasse diagrams.