background image

5.35. BASES ON FILTRATORS

121

Corollary

675

.

The number of filters on

U

is 2

2

card

X

if

U

us infinite and

2

card

U

if

U

is finite.

Proof.

The finite case is obvious. The infinite case follows from the theorem

and the fact that filters are collections of sets and there cannot be more than 2

2

card

U

collections of sets on

U

.

5.35. Bases on filtrators

Definition

676

.

A set

S

of binary relations is a

base

on a filtrator (

A

,

Z

)

of

f

A

when all elements of

S

are above

f

and

X

up

f

T

S

:

T

v

X

.

Obvious

677

.

Every base on an up-aligned filtrator is nonempty.

Proposition

678

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

4

. A set

S

P

Z

is a base of a filtrator element iff

d

A

S

exists and

S

is a

base of

d

A

S

.

Proof.

1

2

,

2

3

Obvious.

3

4

.

. Obvious.

. Let

S

be a base of an

f

A

.

f

is obviously a lower bound of

S

. Let

g

be a lower bound of

S

. Then for every

X

up

f

we have

g

v

X

that is

X

up

g

. Thus up

f

up

g

and thus

f

w

g

that is

f

is the

greatest upper bound of

S

.

Proposition

679

.

There exists an

f

A

such that up

f

=

S

iff

S

is a base

and is an upper set (for every set

S

P

Z

).

Proof.

. If up

f

=

S

then

S

is an upper set and

S

is a base of

f

because

X

up

f

T

S

:

T

=

X

.

. Let

S

be a base of some filtrator element

f

and is an upper set. Then for

every

X

up

f

there is

T

S

such that

T

v

X

. Thus

X

S

. We have

up

f

S

. But

S

up

f

is obvious. We have up

f

=

S

.

Proposition

680

.

up

f

is a base of

f

for every

f

A

.

Proof.

Denote

S

= up

f

. That

f

is a lower bound of

S

is obvious.

If

X

up

f

then

T

S

:

T

=

X

. Thus

S

is a base of

f

.

Proposition

681

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered filtrator.

4

.

f

=

d

A

S

for every base

S

of an

f

A

.

Proof.

1

2

,

2

3

Obvious.