background image

5.34. FILTERS ON A SET

120

Proof.

Ω(

U

) =

¬h¬i

Ω(

U

).

h¬i

Ω is the set of finite subsets of

U

. Thus

¬h¬i

Ω(

U

) is the set of infinite

subsets of

U

.

5.34.2. Number of Filters on a Set.

Definition

671

.

A collection

Y

of sets has finite intersection property iff in-

tersection of any finite subcollection of

Y

is non-empty.

The following was borrowed from [

7

]. Thanks to

Andreas Blass

for email

support about his proof.

Lemma

672

.

(by

Hausdorff

) For an infinite set

X

there is a family

F

of

2

card

X

many subsets of

X

such that given any disjoint finite subfamilies

A

,

B

, the

intersection of sets in

A

and complements of sets in

B

is nonempty.

Proof.

Let

X

0

=

(

P, Q

)

P

P

X

is finite

, Q

PP

P

.

It’s easy to show that card

X

0

= card

X

. So it is enough to show this for

X

0

instead of

X

. Let

F

=

n

(

P,Q

)

X

0

Y

P

Q

o

Y

P

X

.

To finish the proof we show that for every disjoint finite

Y

+

PP

X

and finite

Y

PP

X

there exist (

P, Q

)

X

0

such that

Y

Y

+

: (

P, Q

)

(

P, Q

)

X

0

Y

P

Q

and

Y

Y

: (

P, Q

)

/

(

P, Q

)

X

0

Y

P

Q

what is equivalent to existence (

P, Q

)

X

0

such that

Y

Y

+

:

Y

P

Q

and

Y

Y

:

Y

P /

Q.

For existence of this (

P, Q

), it is enough existence of

P

such that intersections

Y

P

are different for different

Y

Y

+

Y

.

Really, for each pair of distinct

Y

0

, Y

1

Y

+

Y

choose a point which lies in

one of the sets

Y

0

,

Y

1

and not in an other, and call the set of such points

P

. Then

Y

P

are different for different

Y

Y

+

Y

.

Corollary

673

.

For an infinite set

X

there is a family

F

of 2

card

X

many

subsets of

X

such that for arbitrary disjoint subfamilies

A

and

B

the set

A∪

n

X

\

A

A

∈B

o

has finite intersection property.

Theorem

674

.

Let

X

be a set. The number of ultrafilters on

X

is 2

2

card

X

if

X

is infinite and card

X

if

X

is finite.

Proof.

The finite case follows from the fact that every ultrafilter on a finite set

is trivial. Let

X

be infinite. From the lemma, there exists a family

F

of 2

card

X

many

subsets of

X

such that for every

G ∈

P

F

we have Φ(

F

,

G

) =

d

A

G u

d

A

n

X

\

A

A

∈F \G

o

6

=

A

(

X

)

.

This filter contains all sets from

G

and does not contain any sets from

F \ G

.

So for every suitable pairs (

F

0

,

G

0

) and (

F

1

,

G

1

) there is

A

Φ(

F

0

,

G

0

) such that

A

Φ(

F

1

,

G

1

). Consequently all filters Φ(

F

,

G

) are disjoint. So for every pair

(

F

,

G

) where

G ∈

P

F

there exist a distinct ultrafilter under Φ(

F

,

G

), but the

number of such pairs (

F

,

G

) is 2

2

card

X

. Obviously the number of all filters is not

above 2

2

card

X

.