background image

5.34. FILTERS ON A SET

119

5.34.1. Fréchet Filter.

Definition

662

.

Ω =

n

U

\

X

X

is a finite subset of

U

o

is called either

Fréchet filter

or

cofinite filter

.

It is trivial that Fréchet filter is a filter.

Proposition

663

.

Cor Ω =

Z

;

T

Ω =

.

Proof.

This can be deduced from the formula

α

U

X

Ω :

α /

X

.

Theorem

664

.

max

X ∈

A

Cor

X

=

Z

 

= max

X ∈

A

T

X

=

= Ω.

Proof.

Due the last proposition, it is enough to show that Cor

X

=

Z

X v

Ω for every filter

X

.

Let Cor

X

=

Z

for some filter

X

. Let

X

Ω. We need to prove that

X

∈ X

.

X

=

U

\ {

α

0

, . . . , α

n

}

.

U

\ {

α

i

} ∈ X

because otherwise

α

i

∈↑

1

Cor

X

. So

X

∈ X

.

Theorem

665

.

Ω =

d

A

x

x

is a non-trivial ultrafilter

 

.

Proof.

It follows from the facts that Cor

x

=

Z

for every non-trivial ultra-

filter

x

, that

A

is an atomistic lattice, and the previous theorem.

Theorem

666

.

Cor is the lower adjoint of Ω

t

A

.

Proof.

Because both Cor and Ω

t

A

are monotone, it is enough (theorem

126

)

to prove (for every filters

X

and

Y

)

X v

t

A

Cor

X

and Cor(Ω

t

A

Y

)

v Y

.

Cor(Ω

t

A

Y

) = Cor Ω

t

Z

Cor

Y

=

Z

t

Z

Cor

Y

= Cor

Y v Y

.

t

A

Cor

X w

Edg

X t

A

Cor

X

=

X

.

Corollary

667

.

Cor

X

=

X \

Ω for every filter on a set.

Proof.

By theorem

154

.

Corollary

668

.

Cor

d

A

S

=

d

A

h

Cor

i

S

for any set

S

of filters on a powerset.

This corollary can be rewritten in elementary terms and proved elementarily:

Proposition

669

.

T T

S

=

S

F

S

T

F

for a set

S

of filters on some set.

Proof.

(by

Andreas Blass

) The

direction is rather formal. Consider any

one of the sets being intersected on the left side, i.e., any set

X

that is in all the

filters in

S

, and consider any of the sets being unioned (that’s not a word, but you

know what I mean) on the right, i.e.,

T

F

for some

F

S

. Then, since

X

F

,

we have

T

F

X

. Taking the union over all

F

S

(while keeping

X

fixed), we

get that the right side of your equation is

X

. Since that’s true for all

X

T

S

,

we infer that the right side is a subset of the left side. (This argument seems to

work in much greater generality; you just need that the relevant infima (in place of

intersections) exist in your poset.)

For the

direction, consider any element

x

T T

S

, and suppose, toward

a contradiction, that it is not an element of the union on the right side of your

equation. So, for each

F

S

, we have

x /

T

F

, and therefore we can find a set

A

F

F

with

x /

A

F

. Let

B

=

S

F

S

A

F

and notice that

B

F

for every

F

S

(because

B

A

F

). So

B

T

S

. But, by choice of the

A

F

’s, we have

x /

B

,

contrary to the assumption that

x

T T

S

.

Proposition

670

.

Ω(

U

) is the set of infinite subsets of

U

.