background image

5.34. FILTERS ON A SET

118

Proof.

We need to prove (

λi

n

:

a

i

\

b

i

)

u

b

=

and

a

t

b

=

b

t

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

).

Really

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

)

u

b

=

λi

n

: (

a

i

\

b

i

)

u

b

i

=

;

b

t

(

λi

n

:

a

i

\

b

i

) =

λi

n

:

b

i

t

(

a

i

\

b

i

) =

λi

n

:

b

i

t

a

i

=

a

t

b.

Proposition

661

.

If every

A

i

is a distributive lattice, then

a

\

b

=

λi

dom

A

:

a

i

\

b

i

for every

a, b

Q

A

whenever every

a

i

\

b

i

is defined.

Proof.

We need to prove that

λi

dom

A

:

a

i

\

b

i

=

d

z

Q

A

a

v

b

t

z

.

To prove it is enough to show

a

i

\

b

i

=

d

z

i

z

Q

A

,a

v

b

t

z

that is

a

i

\

b

i

=

d

n

z

A

i

a

i

v

b

i

t

z

o

because

z

0

z

i

z

Q

A

,a

v

b

t

z

z

0

n

z

A

i

a

i

v

b

i

t

z

o

(for the reverse

implication take

z

j

=

a

i

for

j

6

=

i

), but

a

i

\

b

i

=

d

n

z

A

i

a

i

v

b

i

t

z

o

is true by definition.

Proposition

662

.

If every

A

i

is a distributive lattice with least element, then

a

#

b

=

λi

dom

A

:

a

i

#

b

i

for every

a, b

Q

A

whenever every

a

i

#

b

i

is defined.

Proof.

We need to prove that

λi

dom

A

:

a

i

#

b

i

=

d

z

Q

A

z

v

a

z

b

.

To prove it is enough to show

a

i

#

b

i

=

d

z

i

z

Q

A

,z

v

a

z

b

that is

a

i

#

b

i

=

d

z

i

z

Q

A

,z

i

v

a

i

∧∀

j

dom

A

:

z

j

b

j

that is

a

i

#

b

i

=

d

n

z

A

i

z

v

a

i

z

b

i

o

(take

z

j

=

A

j

for

j

6

=

i

) what is true by definition.

Proposition

663

.

Let every

A

i

be a poset with least element and

a

i

is defined.

Then

a

=

λi

dom

A

:

a

i

.

Proof.

We need to prove that

λi

dom

A

:

a

i

=

d

c

Q

A

c

a

. To prove this it

is enough to show that

a

i

=

d

c

i

c

Q

A

,c

a

that is

a

i

=

d

c

i

c

Q

A

,

j

dom

A

:

c

j

a

j

that is

a

i

=

d

c

i

c

Q

A

,c

i

a

i

(take

c

j

=

A

j

for

j

6

=

i

) that is

a

i

=

d

n

c

A

i

c

a

i

o

what is true by definition.

Corollary

664

.

Let every

A

i

be a poset with greatest element and

a

+

i

is

defined. Then

a

+

=

λi

dom

A

:

a

+

i

.

Proof.

By duality.

5.34. Filters on a Set

In this section we will fix a powerset filtrator (

A

,

Z

) = (

A

,

P

U

) for some set

U

.

The consideration below is about filters on a set

U

, but this can be general-

ized for filters on complete atomic boolean algebras due complete atomic boolean

algebras are isomorphic to algebras of sets on some set

U

.