background image

5.33. FUNCTION SPACES OF POSETS

117

Proposition

653

.

Let (

A

i

,

Z

i

) be filtrators and each

Z

i

be a complete lattice

with up

x

6

=

for every

x

A

i

(for every

i

n

). For

a

Q

A

:

1

. Cor

a

=

λi

dom

a

: Cor

a

i

;

2

. Cor

0

a

=

λi

dom

a

: Cor

0

a

i

.

Proof.

We will prove only the first, because the second is dual.

Cor

a

=

Q

Z

l

up

a

=

λi

dom

a

:

Z

i

l

x

i

x

up

a

= (up

x

6

=

taken into account)

λi

dom

a

:

Z

i

l

x

x

up

a

i

=

λi

dom

a

:

Z

i

l

up

a

i

=

λi

dom

a

: Cor

a

i

.

Proposition

654

.

If each (

A

i

,

Z

i

) is a filtrator with (co)separable core and each

A

i

has a least (greatest) element, then (

Q

A

,

Q

Z

) is a filtrator with (co)separable

core.

Proof.

We will prove only for separable core, as co-separable core is dual.

x

Q

A

y

(used the fact that

A

i

has a least element)

i

dom

A

:

x

i

A

i

y

i

i

dom

A

X

up

x

i

:

X

A

i

y

i

X

up

x

i

dom

A

:

X

i

A

i

y

i

X

up

x

:

X

Q

A

y

for every

x, y

Q

A

.

Obvious

655

.

1

. If each (

A

i

,

Z

i

) is a down-aligned filtrator, then (

Q

A

,

Q

Z

) is a down-

aligned filtrator.

2

. If each (

A

i

,

Z

i

) is an up-aligned filtrator, then (

Q

A

,

Q

Z

) is an up-aligned

filtrator.

Obvious

656

.

1

. If each (

A

i

,

Z

i

) is a weakly down-aligned filtrator, then (

Q

A

,

Q

Z

) is a

weakly down-aligned filtrator.

2

. If each (

A

i

,

Z

i

) is a weakly up-aligned filtrator, then (

Q

A

,

Q

Z

) is a weakly

up-aligned filtrator.

Proposition

657

.

If every

b

i

is substractive from

a

i

where

a

and

b

are

n

-

indexed families of elements of distributive lattices with least elements (where

n

is

an index set), then

a

\

b

=

λi

n

:

a

i

\

b

i

.