background image

5.33. FUNCTION SPACES OF POSETS

115

Obvious

643

.

If every

A

i

is a poset with least element, then the set of atoms

of

Q

A

is

λi

dom

A

:

 (

a

if

i

=

k

;

A

i

if

i

6

=

k

!

k

dom

A

, a

atoms

A

k

.

Proposition

644

.

If every

A

i

is an atomistic poset with least element, then

Q

A

is an atomistic poset.

Proof.

x

i

=

d

atoms

x

i

for every

x

i

A

i

. Thus

x

=

λi

dom

x

:

x

i

=

λi

dom

x

:

l

atoms

x

i

=

l

i

dom

x

λj

dom

x

:

(

x

i

if

j

=

i

A

j

if

j

6

=

i

=

l

i

dom

x

λj

dom

x

:

(

d

atoms

x

i

if

j

=

i

A

j

if

j

6

=

i

=

l

i

dom

x

l

q

atoms

x

i

λj

dom

x

:

(

q

if

j

=

i

A

j

if

j

6

=

i

.

Thus

x

is a join of atoms of

Q

A

.

Corollary

645

.

If

A

i

are atomistic posets with least elements, then

Q

A

is

atomically separable.

Proof.

Proposition

227

.

Proposition

646

.

Let (

A

i

n

,

Z

i

n

) be a family of filtrators. Then (

Q

A

,

Q

Z

)

is a filtrator.

Proof.

We need to prove that

Q

Z

is a sub-poset of

Q

A

. First

Q

Z

Q

A

because

Z

i

A

i

for each

i

n

.

Let

A, B

Q

Z

and

A

v

Q

Z

B

. Then

i

n

:

A

i

v

Z

i

B

i

; consequently

i

n

:

A

i

v

A

i

B

i

that is

A

v

Q

A

B

.

Proposition

647

.

Let (

A

i

n

,

Z

i

n

) be a family of filtrators.

1

. The filtrator (

Q

A

,

Q

Z

) is (binarily) join-closed if every (

A

i

,

Z

i

) is (bina-

rily) join-closed.

2

. The filtrator (

Q

A

,

Q

Z

) is (binarily) meet-closed if every (

A

i

,

Z

i

) is (bi-

narily) meet-closed.

Proof.

Let every (

A

i

,

Z

i

) be binarily join-closed. Let

A, B

Q

Z

and

A

t

Q

Z

B

exist. Then (by corollary

639

)

A

t

Q

Z

B

=

λi

n

:

A

i

t

Z

i

B

i

=

λi

n

:

A

i

t

A

i

B

i

=

A

t

Q

A

B.

Let now every (

A

i

,

Z

i

) be join-closed. Let

S

P

Q

Z

and

d

Q

Z

S

exist. Then

(by corollary

639

)

Q

Z

l

S

=

λi

dom

A

:

Z

i

l

n

x

i

x

S

o

=

λi

dom

A

:

A

i

l

n

x

i

x

S

o

=

Q

A

l

S.

The rest follows from symmetry.