5.33. FUNCTION SPACES OF POSETS

114

Proof.

It is enough to prove the formula (

2

).

It’s obvious that

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi

w

A, B

.

Let

C

w

A, B

. Then (for every

i

dom

A

)

Ci

w

Ai

and

Ci

w

Bi

. Thus

Ci

w

Ai

t

Bi

that is

C

w

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi

.

Corollary

638

.

If

A

i

are lattices then

Q

A

is a lattice.

Obvious

639

.

If

A

i

are distributive lattices then

Q

A

is a distributive lattice.

Proposition

640

.

If

A

i

are boolean lattices then

Q

A

is a boolean lattice.

Proof.

We need to prove only that every element

a

Q

A

has a complement.

But this complement is evidently

λi

dom

a

:

a

i

.

Proposition

641

.

If every

A

i

is a poset then for every

S

P

Q

A

1

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

whenever every

d

x

S

x

i

exists;

2

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

whenever every

d

x

S

x

i

exists.

Proof.

It’s enough to prove the first formula.

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

i

=

d

x

S

x

i

w

x

i

for every

x

S

and

i

dom

A

.

Let

y

w

x

for every

x

S

. Then

y

i

w

x

i

for every

i

dom

A

and thus

y

i

w

d

x

S

x

i

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

i

that is

y

w

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

.

Thus

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

by the definition of join.

Corollary

642

.

If

A

i

are posets then for every

S

P

Q

A

1

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

whenever

d

S

exists;

2

.

d

S

=

λi

dom

A

:

d

x

S

x

i

whenever

d

S

exists.

Proof.

It is enough to prove that (for every

i

)

d

x

S

x

i

exists whenever

d

S

exists.

Fix

i

dom

A

.

Take

y

i

= (

d

S

)

i

and let prove that

y

i

is the least upper bound of

x

i

x

S

.

y

i

is it’s upper bound because

d

S

w

x

and thus (

d

S

)

i

w

x

i

for every

x

S

.

Let

x

S

and for some

t

A

i

T

(

t

) =

λj

dom

A

:

(

t

if

i

=

j

x

j

if

i

6

=

j.

Let

t

w

x

i

. Then

T

(

t

)

w

x

for every

x

S

. So

T

(

t

)

w

d

S

and consequently

t

=

T

(

t

)

i

w

y

i

.

So

y

i

is the least upper bound of

x

i

x

S

.

Corollary

643

.

If

A

i

are complete lattices then

A

is a complete lattice.

Obvious

644

.

If

A

i

are complete (co-)brouwerian lattices then

A

is a (co-

)brouwerian lattice.

Proposition

645

.

If each

A

i

is a separable poset with least element (for some

index set

n

) then

Q

A

is a separable poset.

Proof.

Let

a

6

=

b

. Then

i

dom

A

:

a

i

6

=

b

i

. So

x

A

i

: (

x

6

a

i

x

b

i

)

(or vice versa).

Take

y

=

λj

dom

A

:

(

x

if

j

=

i

;

A

j

if

j

6

=

i.

Then

y

6

a

and

y

b

.