background image

5.33. FUNCTION SPACES OF POSETS

113

(c)

d

(atoms

a

\

atoms

b

).

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

By corollary

528

and theorem

578

.

3

4

Theorem

244

.

Conjecture

629

.

a

\

b

=

a

#

b

for arbitrary filters

a

,

b

on powersets is not

provable in ZF (without axiom of choice).

5.33. Function spaces of posets

Definition

630

.

Let

A

i

be a family of posets indexed by some set dom

A

. We

will define order of indexed families of elements of posets by the formula

a

v

b

⇔ ∀

i

dom

A

:

a

i

v

b

i

.

I will call this new poset

Q

A

the function space

of posets and the above order

product order

.

Proposition

631

.

The function space for posets is also a poset.

Proof.

Reflexivity. Obvious.

Antisymmetry. Obvious.

Transitivity. Obvious.

Obvious

632

.

A

has least element iff each

A

i

has a least element. In this case

Q

A

=

Y

i

dom

A

A

i

.

Proposition

633

.

a

6

b

⇔ ∃

i

dom

A

:

a

i

6

b

i

for every

a, b

Q

A

if every

A

i

has least element.

Proof.

If dom

A

=

, then

a

=

b

=

,

a

b

and thus the theorem statement

holds. Assume dom

A

6

=

.

a

6

b

c

Y

A

\ {⊥

Q

A

}

: (

c

v

a

c

v

b

)

c

Y

A

\ {⊥

Q

A

}∀

i

dom

A

: (

c

i

v

a

i

c

i

v

b

i

)

(for the reverse implication take

c

j

=

A

j

for

i

6

=

j

)

i

dom

A

, c

A

i

\ {⊥

A

i

}

: (

c

v

a

i

c

v

b

i

)

i

dom

A

:

a

i

6

b

i

.

Proposition

634

.

1

. If

A

i

are join-semilattices then

A

is a join-semilattice and

A

t

B

=

λi

dom

A

:

Ai

t

Bi.

(2)

2

. If

A

i

are meet-semilattices then

A

is a meet-semilattice and

A

u

B

=

λi

dom

A

:

Ai

u

Bi.