 5.32. PSEUDODIFFERENCE OF FILTERS

112

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. Let

A ∈

A

. Consider the function

γ

:

Z

(

D

A

)

Z

/

defined by the

formula (for every

p

Z

(

D

A

))

γp

=

X

Z

X

u

A

A

=

p

.

Then:

(a)

γ

is a lattice isomorphism.

(b)

Q

q

:

γ

1

q

=

Q

u

A

A

for every

q

Z

/

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

p

Z

(

D

A

) :

γp

6

=

because of theorem

615

Thus it is easy to see that

γp

Z

/

and that

γ

is an injection.

Let’s prove that

γ

is a lattice homomorphism:

γ

(

p

0

u

A

p

1

) =

n

X

Z

X

u

A

A

=

p

0

u

A

p

1

o

;

γp

0

u

Z

/

γp

1

=

X

0

Z

X

0

u

A

A

=

p

0

u

Z

/

X

1

Z

X

1

u

A

A

=

p

1

=

X

0

u

A

X

1

X

0

, X

1

Z

, X

0

u

A

A

=

p

0

X

1

u

A

A

=

p

1

X

0

Z

X

0

u

A

A

=

p

0

u

A

p

1

=

γ

(

p

0

u

A

p

1

)

.

Because

γp

0

u

Z

/

γp

1

and

γ

(

p

0

u

A

p

1

) are equivalence classes, thus

follows

γp

0

u

Z

/

γp

1

=

γ

(

p

0

u

A

p

1

).

To finish the proof it is enough to show that

Q

q

:

q

=

γ

(

Q

u

A

A

)

for every

q

Z

/

. (From this it follows that

γ

is surjective because

q

is

not empty and thus

Q

q

:

q

=

γ

(

Q

u

A

A

).) Really,

γ

(

Q

u

A

A

) =

X

Z

X

u

A

A

=

Q

u

A

A

= [

Q

] =

q.

This isomorphism is useful in both directions to reveal properties of both lattices

Z

(

D

A

) and

q

Z

/

.

Corollary

630

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

Z

/

is a boolean lattice

Proof.

Because

Z

(

D

A

) is a boolean lattice (theorem

98

).

5.32. Pseudodifference of filters

Proposition

631

.

The following is an implications tuple:

1

.

A

is a lattice of filters on a set.

2

.

A

is a lattice of filters over a boolean lattice.

3

.

A

is an atomistic co-brouwerian lattice.

4

. For every

a, b

A

the following expressions are always equal:

(a)

a

\

b

=

d

n

z

A

a

v

b

t

z

o

(quasidifference of

a

and

b

);