 5.31. COMPLEMENTIVE FILTERS AND FACTORING BY A FILTER

111

Theorem

623

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a distributive lattice.

3

. For every

A ∈

A

and

X, Y

Z

we have

X

Y

⇔ ∃

A

up

A

:

X

u

Z

A

=

Y

u

Z

A.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

A

up

A

:

X

u

Z

A

=

Y

u

Z

A

(corollary

533

)

A

up

A

:

X

u

A

A

=

Y

u

A

A

A

up

A

:

X

u

A

A

u

A

A

=

Y

u

A

A

u

A

A ⇔

A

up

A

:

X

u

A

A

=

Y

u

A

A ⇔

X

u

A

A

=

Y

u

A

A ⇔

X

∼↑

Y

X

Y.

On the other hand,

X

u

A

A

=

Y

u

A

A ⇔

X

u

Z

A

0

A

0

∈ A

=

Y

u

Z

A

1

A

1

∈ A

A

0

, A

1

up

A

:

X

u

Z

A

0

=

Y

u

Z

A

1

A

0

, A

1

up

A

:

X

u

Z

A

0

u

Z

A

1

=

Y

u

Z

A

0

u

Z

A

1

A

up

A

:

Y

u

Z

A

=

X

u

Z

A.

Proposition

624

.

The relation

is a congruence

1

for each of the following:

1

. a meet-semilattice

A

;

2

. a distributive lattice

A

.

Proof.

Let

a

0

, a

1

, b

0

, b

1

A

and

a

0

a

1

and

b

0

b

1

.

1

.

a

0

u

b

0

a

1

u

b

1

because (

a

0

u

b

0

)

u A

=

a

0

u

(

b

0

u A

) =

a

0

u

(

b

1

u A

) =

b

1

u

(

a

0

u A

) =

b

1

u

(

a

1

u A

) = (

a

1

u

b

1

)

u A

.

2

Taking the above into account, we need to prove only

a

0

t

b

0

a

1

t

b

1

.

We have

(

a

0

t

b

0

)

u A

= (

a

0

u A

)

t

(

b

0

u A

) = (

a

1

u A

)

t

(

b

1

u A

) = (

a

1

t

b

1

)

u A

.

Definition

625

.

We will denote

A/

(

) =

A/

((

)

A

×

A

) for a set

A

and

an equivalence relation

on a set

B

A

. I will call

a congruence on

A

when

(

)

(

A

×

A

) is a congruence on

A

.

Theorem

626

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

1

See Wikipedia for a definition of congruence.