background image

5.31. COMPLEMENTIVE FILTERS AND FACTORING BY A FILTER

110

2

. (

A

,

Z

) is a filtered starrish down-aligned complete lattice filtrator with

binarily meet-closed, separable core which is a complete atomistic boolean

lattice.

3

. (

a

t

A

b

)

=

a

u

A

b

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

(

A

,

Z

) is a filtered (theorem

534

), distributive (corollary

531

complete lat-

tice filtrator (corollary

518

), with binarily meet-closed core (corollary

536

),

with separable core (theorem

537

).

2

3

(

a

t

A

b

)

= Cor

0

(

a

t

A

b

) = Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

=

a

u

Z

b

=

a

u

A

b

(used theorems

594

,

603

).

Theorem

621

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered up-aligned complete lattice filtrator with co-separable

core which is a complete boolean lattice.

4

. (

a

u

A

b

)

+

=

a

+

t

A

b

+

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is filtered by theorem

534

is a complete lattice by corollary

518

is with

co-separable core by theorem

590

.

3

4

(

a

u

A

b

)

+

= Cor(

a

u

A

b

) = Cor

0

(

a

u

A

b

) = Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

t

A

Cor

0

b

=

a

+

t

A

b

+

using theorems

592

,

545

,

601

and

the fact that filtered filtrator is join-closed.

Theorem

622

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a filtered down-aligned and up-aligned filtrator with binarily

meet-closed core, with co-separable core

Z

which is a complete atomistic

boolean lattice and

A

is a complete starrish lattice.

3

. (

a

t

A

b

)

+

=

a

+

u

A

b

+

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

(

a

t

A

b

)

+

= Cor(

a

t

A

b

) = Cor

0

(

a

t

A

b

) = Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

= Cor

a

u

A

Cor

b

=

a

+

u

A

b

+

using theorems

592

,

545

,

603

.

5.31. Complementive Filters and Factoring by a Filter

Definition

623

.

Let

A

be a meet-semilattice and

A ∈

A

. The relation

on

A

is defined by the formula

X, Y

A

:(

X

Y

X

u

A

A

=

Y

u

A

A

)

.

Proposition

624

.

The relation

is an equivalence relation.

Proof.

Reflexivity. Obvious.

Symmetry. Obvious.

Transitivity. Obvious.