background image

5.30. DISTRIBUTIVITY OF QUASICOMPLEMENTS

109

3

. (

A

,

Z

) is a filtered down-aligned and up-aligned complete lattice filtra-

tor with binarily meet-closed, separable and co-separable core which is a

complete boolean lattice.

4

. (

a

u

A

b

)

= (

a

u

A

b

)

+

=

a

t

A

b

=

a

+

t

A

b

+

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

The filtrator (

A

,

Z

) is filtered by the theorem

531

.

A

is a complete lat-

tice by corollary

515

(

A

,

Z

) is with co-separable core by theorem

587

.

(

A

,

Z

) is binarily meet-closed by proposition

533

with separable core by

theorem

534

.

3

4

Theorem

592

apply. Also theorem

598

apply because every filtered filtrator

is join-closed. So

(

a

u

A

b

)

= (

a

u

A

b

)

+

= Cor(

a

u

A

b

) = Cor

a

u

Z

Cor

b

= Cor

a

t

A

Cor

b

=

a

+

t

A

b

+

=

a

t

A

b

.

Theorem

615

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a filtered starrish down-aligned and up-aligned complete lattice

filtrator with binarily meet-closed, separable and co-separable core which

is a complete atomistic boolean lattice.

3

. (

a

t

A

b

)

= (

a

t

A

b

)

+

=

a

u

A

b

=

a

+

u

A

b

+

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

(

A

,

Z

) is a filtered (theorem

531

), distributive (corollary

528

complete lat-

tice filtrator (corollary

515

), with binarily meet-closed core (corollary

533

),

with separable core (theorem

534

), with co-separable core (theorem

587

).

2

3

(

a

t

A

b

)

+

= (

a

t

A

b

)

= Cor

0

(

a

t

A

b

) = Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

=

a

u

Z

b

=

a

u

A

b

=

a

+

u

A

b

+

(used theorems

591

,

600

,

592

).

Theorem

616

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered complete lattice filtrator with down-aligned, binarily

meet-closed, separable core which is a complete boolean lattice.

4

. (

a

u

A

b

)

=

a

t

A

b

for every

a, b

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is filtered by theorem

531

It is complete lattice filtrator by

515

It is

with binarily meet-closed core (corollary

533

), with separable core (theo-

rem

534

).

3

4

It is join closed because it is filtered. (

a

u

A

b

)

= Cor

0

(

a

u

A

b

) =

Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

= Cor

0

a

t

Z

Cor

0

b

=

a

t

Z

b

=

a

t

A

b

(theorems

598

,

591

).

Theorem

617

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a filtered starrish down-aligned complete lattice filtrator with

binarily meet-closed, separable core which is a complete atomistic boolean

lattice.