background image

5.30. DISTRIBUTIVITY OF QUASICOMPLEMENTS

108

3

. Let

A ∈

A

. Then for each

X ∈

A

X ∈

Z

(

D

A

)

⇔ ∃

X

Z

:

X

=

X

u

A

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

. Let

X

=

X

u

A

A

where

X

Z

. Let also

Y

=

X

u

A

A

. Then

X u

A

Y

=

X

u

A

X

u

A

A

= (

X

u

Z

X

)

u

A

A

=

A

u

A

A

=

A

(used corollary

533

)

and

X t

A

Y

= (

X

t

A

X

)

u

A

A

= (

X

t

Z

X

)

u

A

A

=

>

A

u

A

A

=

A

(used theorem

531

and corollary

528

). So

X ∈

Z

(

D

A

).

. Let

X ∈

Z

(

D

A

). Then there exists

Y ∈

Z

(

D

A

) such that

X u

A

Y

=

A

and

X t

A

Y

=

A

. Then (used theorem

534

there exists

X

up

X

such that

X

u

A

Y

=

A

. We have

X

=

X t

(

X

u

A

Y

) =

X

u

A

(

X t

A

Y

) =

X

u

A

A

.

Theorem

613

.

The following is an implication tuple:

1

. (

A

;

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

;

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

.

F

(

Z

(

D

A

)) is order-isomorphic to

D

A

by the formulas

• Y

=

d

X

for every

X ∈

F

(

Z

(

D

A

));

• X

=

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F wY

o

for every

Y ∈

D

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

We need to prove that the above formulas define a bijection, then it

becomes evident that it’s an order isomorphism (take into account that the order

of filters is

reverse

to set inclusion).

First prove that these formulas describe correspondences between

F

(

Z

(

D

A

))

and

D

A

.

Let

X ∈

F

(

Z

(

D

A

)). Consider

Y

=

d

X

. Every element of

X

is below

A

,

consequently

Y ∈

D

A

.

Let now

Y ∈

D

A

. Then

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F wY

o

is a filter.

It remains to prove that these correspondences are mutually inverse.
Let

X

=

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F wY

0

o

and

Y

1

=

d

X

for some

Y

0

D

A

.

Y

1

w Y

0

is obvious. By theorem

612

and the condition

2

we have

Y

1

=

d

X v

d

A

n

F

uA

F

up

Y

0

o

=

d

A

n

F

F

up

Y

0

o

u A

=

Y

0

u A

=

Y

0

. So

Y

1

=

Y

0

.

Let now

Y

=

d

X

0

and

X

1

=

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F wY

o

for some

X

0

F

(

Z

(

D

A

)).

X

1

=

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F w

d

X

0

o

= (by generalized filter bases) =

n

F ∈

Z

(

D

A

)

X

∈X

0

:

F w

X

o

=

n

F ∈

Z

(

D

A

)

F ∈X

0

o

=

X

0

because

F ∈ X

0

⇔ ∃

X

∈ X

0

:

F w

X

if

F ∈

Z

(

D

A

).

5.30. Distributivity of quasicomplements

Theorem

614

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.