background image

5.29. FILTERS AND A SPECIAL SUBLATTICE

107

2

3

.

.

3

a

That

A

/

?

F

is obvious. For every

a, b

A

a

t

A

b

?

F ⇔

(

a

t

A

b

)

u

A

F 6

=

A

(

a

u

A

F

)

t

A

(

b

u

A

F

)

6

=

A

a

u

A

F 6

=

A

b

u

A

F 6

=

A

a

?

F ∨ ∈

?

F

(taken into account corollary

528

). So

?

F

is a free star on

A

.

3

b

We have a filter base

T

S

and need to prove that

d

A

T

u F 6

=

A

. Because

F u

A

T

is a generalized filter base,

A

F u

A

T

d

A

F u

A

T

=

A

d

A

T

u

A

F 6

=

A

. So it is

left to prove

A

/

F u

A

T

what follows from

T

S

.

. Let

S

be a free star on

A

. Then for every

A, B

Z

A, B

S

Z

A, B

S

A

t

A

B

S

A

t

Z

B

S

A

t

Z

B

S

Z

(taken into account the theorem

531

). So

S

Z

is a free star on

Z

.

Thus there exists

F ∈

A

such that

F

=

S

Z

. We have up

X ⊆

S

⇔ X ∈

S

(because

S

is filter-closed) for every

X ∈

A

; then (taking

into account properties of generalized filter bases)

X ∈

S

up

X ⊆

S

up

X ⊆

F ⇔

X

up

X

:

X

u

A

F 6

=

A

A

/

F u

A

up

X ⇔

A

l

F u

A

up

X 6

=

A

F u

A

A

l

up

X 6

=

A

F u

A

X 6

=

A

X ∈

?

F

.

5.29. Filters and a Special Sublattice

Remind that

Z

(

X

) is the center of lattice

X

and

Da

is the lattice

n

x

A

x

v

a

o

.

Theorem

612

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.