background image

5.28. MORE CRITERIA

106

Theorem

607

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is an up-aligned binarily join-closed and binarily meet-closed dis-

tributive lattice filtrator over a boolean lattice.

4

.

A

u

A

d

A

S

=

d

A

A

u

A

S

for every

A

Z

and every set

S

P

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is binarily join-closed by theorem

531

It is binarily meet-closed by

corollary

533

It is distributive by corollary

528

.

3

4

Direct consequence of the lemma.

5.27. More about the Lattice of Filters

Definition

608

.

Atoms of

F

are called

ultrafilters

.

Definition

609

.

Principal ultrafilters are also called

trivial ultrafilters

.

Theorem

610

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. The filtrator (

A

,

Z

) is central.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

We can conclude that

A

is atomically separable (the corollary

579

), with

separable core (the theorem

534

), and with join-closed core (theorem

531

),

binarily meet-closed by corollary

533

.

We need to prove

Z

(

A

) =

Z

.

Let

X ∈

Z

(

A

). Then there exists

Y ∈

Z

(

A

) such that

X u

A

Y

=

A

and

X t

A

Y

=

>

A

. Consequently there is

X

up

X

such that

X

u

A

Y

=

A

; we also have

X

t

A

Y

=

>

A

. Suppose

X

A

X

. Then

there exists

a

atoms

A

X

such that

a /

atoms

A

X

. We can conclude also

a /

atoms

A

Y

(otherwise

X

u

A

Y 6

=

A

). Thus

a /

atoms(

X t

A

Y

) and

consequently

X t

A

Y 6

=

>

A

what is a contradiction. We have

X

=

X

Z

.

Let now

X

Z

. Let

Y

=

X

. We have

X

u

Z

Y

=

A

and

X

t

Z

Y

=

>

A

.

Thus

X

u

A

Y

=

d

A

{

X

u

Z

Y

}

=

A

;

X

u

A

Y

=

X

u

Z

Y

=

>

A

. We have

shown that

X

Z

(

A

).

5.28. More Criteria

Theorem

611

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. For every

S

P

A

the condition

∃F ∈

A

:

S

=

?

F

is equivalent to

conjunction of the following items:

(a)

S

is a free star on

A

;

(b)

S

is filter-closed.

Proof.

1

2

Obvious.