background image

5.25. FILTRATORS OVER BOOLEAN LATTICES

104

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator with correct intersection, with binarily meet-closed and

separable core.

4

.

B

A

A ⇔

B

w A

for every

B

Z

,

A ∈

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Using proposition

546

corollary

533

theorem

534

.

3

4

By the lemma

548

.

Theorem

602

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator over a boolean lattice with correct joining and co-

separable core.

4

.

B

A

A ⇔

B

v A

for every

B

Z

,

A ∈

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

Using obvious

547

theorem

587

.

3

4

By the lemma

548

.

5.25. Filtrators over Boolean Lattices

Proposition

603

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a down-aligned and up-aligned binarily meet-closed and binarily

join-closed distributive lattice filtrator and

Z

is a boolean lattice.

4

.

a

\

A

B

=

a

u

A

B

for every

a

A

,

B

Z

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

.

A

is a distributive lattice by corollary

528

Our filtrator is binarily meet-

closed by the corollary

533

and with join-closed core by the theorem

531

.

It is also up and down aligned.

3

4

.

(

a

u

A

B

)

t

A

B

= (

a

t

A

B

)

u

A

(

B

t

A

B

) = (

a

t

A

B

)

u

A

(

B

t

Z

B

) = (

a

t

A

B

)

u

A

>

=

a

t

A

B.

(

a

u

A

B

)

u

A

B

=

a

u

A

(

B

u

A

B

) =

a

u

A

(

B

u

Z

B

) =

a

u

A

=

.

So

a

u

A

B

is the difference of

a

and

B

.

Proposition

604

.

For a primary filtrator over a complete boolean lattice both

edge part and dual edge part are always defined.

Proof.

Core part and dual core part are defined because the core is a complete

lattice. Using the theorem

603

.

Theorem

605

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a boolean lattice.

2

. (

A

,

Z

) is a complete co-brouwerian atomistic down-aligned lattice filtrator

with binarily meet-closed and separable boolean core.