 5.23. DISTRIBUTIVITY OF CORE PART OVER LATTICE OPERATIONS

102

3

4

.

Cor

0

a

=

Z

l

A

Z

A

v

a

=

Z

l

(

d

Z

atoms

Z

A

A

Z

, A

v

a

)

=

Z

l

[

atoms

Z

A

A

Z

, A

v

a

=

Z

l

x

x

is an atom of

Z

, x

v

a

.

Corollary

597

.

Cor

a

=

n

p

U

↑{

p

}v

a

o

and

T

a

=

n

p

U

↑{

p

}v

a

o

for every filter

a

on a set

U

.

Proof.

By proposition

543

.

5.23. Distributivity of Core Part over Lattice Operations

Theorem

598

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a join-closed filtrator and

A

is a meet-semilattice and

Z

is a

meet-semilattice.

4

. Cor

0

(

a

u

A

b

) = Cor

0

a

u

Z

Cor

0

b

for every

a, b

A

. whenever Cor

0

(

a

u

A

b

),

Cor

0

a

, and Cor

0

b

exist

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

(

A

,

Z

) is with join-closed core by corollary

531

.

A

is a meet-semilattice by

corollary

515

.

3

4

We have Cor

0

p

v

p

for every

p

A

whenever Cor

0

p

exists, because our

filtrator is with join-closed core (theorem

540

).

Obviously Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

a

and Cor

0

(

a

u

A

b

)

v

Cor

0

b

.

If

x

v

Cor

0

a

and

x

v

Cor

0

b

for some

x

Z

then

x

v

a

and

x

v

b

,

thus

x

v

a

u

A

b

and

x

v

Cor

0

(

a

u

A

b

).

Theorem

599

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a join-closed filtrator.

4

. Cor

0

d

A

S

=

d

Z

Cor

0

S

for every

S

P

A

whenever both sides of the

equality are defined. Also Cor

0

d

A

T

=

d

Z

T

for every

T

P

Z

whenever

both sides of the equality are defined.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is with join-closed core by theorem

531

.

A

is a complete lattice by

corollary

515

.