background image

5.22. CORE PART AND ATOMIC ELEMENTS

101

2

. (

A

,

Z

) is a complete lattice filtrator with join-closed separable core which

is a complete lattice.

3

.

a

Z

for every

a

A

.

Proof.

1

2

.

A

is a complete lattice by corollary

515

(

A

,

Z

) is a filtrator with join-

closed core by theorem

531

(

A

,

Z

) is a filtrator with separable core by

theorem

534

.

2

3

.

c

A

c

u

A

a

=

A

 

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

; consequently

a

w

d

A

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

.

But if

c

c

A

c

u

A

a

=

A

 

then there exists

A

Z

such that

A

w

c

and

A

u

A

a

=

A

that is

A

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

. Consequently

a

v

d

A

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

.

We have

a

=

d

A

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

=

d

Z

A

Z

A

u

A

a

=

A

 

Z

.

Theorem

594

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is an up-aligned filtered complete lattice filtrator with co-separable

core which is a complete boolean lattice.

4

.

a

+

is dual pseudocomplement of

a

, that is

a

+

= min

c

A

c

t

A

a

=

>

A

for every

a

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

(

A

,

Z

) is filtered by the theorem

531

It is with co-separable core by theo-

rem

587

.

A

is a complete lattice by corollary

515

.

3

4

Our filtrator is with join-closed core (theorem

531

). It’s enough to prove

that

a

+

t

A

a

=

>

A

. But

a

+

t

A

a

= Cor

a

t

A

a

w

Cor

a

t

A

Cor

a

=

Cor

a

t

Z

Cor

a

=

>

A

(used the theorem

539

and the fact that our filtrator

is filtered).

Definition

595

.

The

edge part

of an element

a

A

is Edg

a

=

a

\

Cor

a

, the

dual edge part

is Edg

0

a

=

a

\

Cor

0

a

.

Knowing core part and edge part or dual core part and dual edge part of an

element of a filtrator, the filter can be restored by the formulas:

a

= Cor

a

t

A

Edg

a

and

a

= Cor

0

a

t

A

Edg

0

a.

5.22. Core Part and Atomic Elements

Proposition

596

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over an atomistic lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtrator with join-closed core and

Z

be an atomistic lattice.

4

. Cor

0

a

=

d

Z

n

x

x

is an atom of

Z

,x

v

a

o

for every

a

A

such that Cor

0

a

exists.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

(

A

,

Z

) is with join-closed core by corollary

531

.