background image

5.21. COMPLEMENTS AND CORE PARTS

100

3

. (

A

,

Z

) is a filtered complete lattice filtrator with down-aligned, binarily

meet-closed, separable core which is a complete boolean lattice.

4

.

a

= Cor

a

= Cor

0

a

for every

a

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

It is filtered by theorem

531

It is complete lattice filtrator by

515

It is

with binarily meet-closed core (proposition

533

), with separable core (theorem

534

).

3

4

Our filtrator is with join-closed core (theorem

531

).

a

=

d

A

c

A

c

u

A

a

=

A

 

. But

c

u

A

a

=

A

⇒ ∃

C

up

c

:

C

u

A

a

=

A

. So

a

=

A

l

C

Z

C

u

A

a

=

A

=

A

l

C

Z

a

v

C

=

A

l

C

C

Z

, a

v

C

=

A

l

C

C

up

a

=

Z

l

C

C

up

a

=

Z

l

C

C

up

a

=

Z

l

up

a

=

Cor

a

(used lemma

548

).

Cor

a

= Cor

0

a

by theorem

542

.

Theorem

592

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a powerset filtrator.

2

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete boolean lattice.

3

. (

A

,

Z

) is a filtered down-aligned and up-aligned complete lattice filtra-

tor with binarily meet-closed, separable and co-separable core which is a

complete boolean lattice.

4

.

a

=

a

+

= Cor

a

= Cor

0

a

Z

for every

a

A

.

Proof.

1

2

Obvious.

2

3

The filtrator (

A

,

Z

) is filtered by the theorem

531

.

A

is a complete lat-

tice by corollary

515

(

A

,

Z

) is with co-separable core by theorem

587

.

(

A

,

Z

) is binarily meet-closed by proposition

533

with separable core by

theorem

534

.

3

4

Comparing two last theorems.

Theorem

593

.

The following is an implications tuple:

1

. (

A

,

Z

) is a primary filtrator over a complete lattice.