background image

1.5. EARLIER WORKS

10

1.4. Our topic and rationale

From [

42

]:

Point-set topology, also called set-theoretic topology or general topol-

ogy, is the study of the general abstract nature of continuity or “closeness” on
spaces. Basic point-set topological notions are ones like continuity, dimension, com-
pactness, and connectedness.

In this work we study a new approach to point-set topology (and pointfree

topology).

Traditionally general topology is studied using topological spaces (defined below

in the section 

Topological spaces

”). I however argue that the theory of topolog-

ical spaces is not the best method of studying general topology and introduce an

alternative theory, the theory of

funcoids

. Despite of popularity of the theory of

topological spaces it has some drawbacks and is in my opinion not the most appro-

priate formalism to study most of general topology. Because topological spaces are

tailored for study of special sets, so called open and closed sets, studying general

topology with topological spaces is a little anti-natural and ugly. In my opinion the

theory of funcoids is more elegant than the theory of topological spaces, and it is

better to study funcoids than topological spaces. One of the main purposes of this

work is to present an alternative General Topology based on funcoids instead of

being based on topological spaces as it is customary. In order to study funcoids the

prior knowledge of topological spaces is not necessary. Nevertheless in this work

I will consider topological spaces and the topic of interrelation of funcoids with

topological spaces.

In fact funcoids are a generalization of topological spaces, so the well known

theory of topological spaces is a special case of the below presented theory of fun-

coids.

But probably the most important reason to study funcoids is that funcoids

are a generalization of proximity spaces (see section 

Proximity spaces

” for the

definition of proximity spaces). Before this work it was written that the theory of

proximity spaces was an example of a stalled research, almost nothing interesting

was discovered about this theory. It was so because the proper way to research

proximity spaces is to research their generalization, funcoids. And so it was stalled

until discovery of funcoids. That generalized theory of proximity spaces will bring

us yet many interesting results.

In addition to

funcoids

I research

reloids

. Using below defined terminology it

may be said that reloids are (basically) filters on Cartesian product of sets, and

this is a special case of uniform spaces.

Afterward we study some generalizations.

Somebody might ask, why to study it? My approach relates to traditional

general topology like complex numbers to real numbers theory. Be sure this will

find applications.

This book has a deficiency: It does not properly relate my theory with previous

research in general topology and does not consider deeper category theory prop-

erties. It is however OK for now, as I am going to do this study in later volumes

(continuation of this book).

Many proofs in this book may seem too easy and thus this theory not sophis-

ticated enough. But it is largely a result of a well structured digraph of proofs,

where more difficult results are made easy by reducing them to easier lemmas and

propositions.

1.5. Earlier works

Some mathematicians were researching generalizations of proximities and uni-

formities before me but they have failed to reach the right degree of generalization