background image

Composition of binary relations (i.e. of principal funcoids) complies with the formulas:

h

g

f

i

=

h

g

i  h

f

i

and

h

(

g

f

)

¡

1

i

=

h

f

¡

1

i  h

g

¡

1

i

:

By the same formulas we can dene composition of every two funcoids. Funcoids with this com-
position form a category (

the category of funcoids

).

Also funcoids can be reversed (like reversal of

X

and

Y

in a binary relation) by the formula

(

;

)

¡

1

= (

;

)

. In the particular case if

is a proximity we have

¡

1

=

because proximities

are symmetric.

Funcoids behave similarly to (multivalued) functions but acting on lters instead of acting on

sets. Below these will be dened domain and image of a funcoid (the domain and the image of a
funcoid are lters).

6.2 Basic denitions

Denition 6.1.

Let us call a

funcoid

from a set

A

to a set

B

a quadruple

(

A

;

B

;

;

)

where

2

F

(

B

)

F

(

A

)

,

2

F

(

A

)

F

(

B

)

such that

8X 2

F

(

A

)

;

Y 2

F

(

B

): (

/

X , X 

/

Y

)

:

Further we will assume that all funcoids in consideration are small without mentioning it

explicitly.

Denition 6.2.

Source

and

destination

of every funcoid

(

A

;

B

;

;

)

are dened as:

Src

(

A

;

B

;

;

) =

A

and Dst

(

A

;

B

;

;

) =

B:

I will denote

FCD

(

A

;

B

)

the set of funcoids from

A

to

B

.

I will denote

FCD

the set of all funcoids (for small sets).

Denition 6.3.

h

(

A

;

B

;

;

)

i

=

def

for a funcoid

(

A

;

B

;

;

)

.

Denition 6.4.

The

reverse

funcoid

(

A

;

B

;

;

)

¡

1

= (

B

;

A

;

;

)

for a funcoid

(

A

;

B

;

;

)

.

Note 6.5.

The reverse funcoid is

not

an inverse in the sense of group theory or category theory.

Proposition 6.6.

If

f

is a funcoid then

f

¡

1

is also a funcoid.

Proof.

It follows from symmetry in the denition of funcoid.

Obvious 6.7.

(

f

¡

1

)

¡

1

=

f

for a funcoid

f

.

Denition 6.8.

The relation

[

f

]

2

P

(

F

(

Src

f

)

F

(

Dst

f

))

is dened (for every funcoid

f

and

X 2

F

(

Src

f

)

,

Y 2

F

(

Dst

f

)

) by the formula

X

[

f

]

Y , Y 

/

h

f

iX

.

Obvious 6.9.

X

[

f

]

Y , Y 

/

h

f

iX , X 

/

h

f

¡

1

iY

for every funcoid

f

and

X 2

F

(

Src

f

)

,

Y 2

F

(

Dst

f

)

.

Obvious 6.10.

[

f

¡

1

]=[

f

]

¡

1

for a funcoid

f

.

Theorem 6.11.

Let

A

,

B

be sets.

1. For given value of

h

f

i 2

F

(

B

)

F

(

A

)

there exists no more than one funcoid

f

2

FCD

(

A

;

B

)

.

2. For given value of

[

f

]

2

P

(

F

(

A

)

F

(

B

))

there exists no more than one funcoid

f

2

FCD

(

A

;

B

)

.

Proof.

Let

f ; g

2

FCD

(

A

;

B

)

.

Obviously,

h

f

i

=

h

g

i )

[

f

]=[

g

]

and

h

f

¡

1

i

=

h

g

¡

1

i )

[

f

]=[

g

]

. So it's enough to prove that

[

f

]=[

g

]

)h

f

i

=

h

g

i

.

96

Funcoids