background image

Chapter 6
Funcoids

In this chapter (and several following chapters) the word

lter

will refer to a lter on a set (rather

than a lter on an arbitrary poset).

6.1 Informal introduction into funcoids

Funcoids are a generalization of proximity spaces and a generalization of pretopological spaces.
Also funcoids are a generalization of binary relations.

That funcoids are a common generalization of spaces (proximity spaces, (pre)topological

spaces) and binary relations (including monovalued functions) makes them smart for describing
properties of functions in regard of spaces. For example the statement 

f

is a continuous function

from a space

to a space

 can be described in terms of funcoids as the formula

f

v

f

(see

below for details).

Most naturally funcoids appear as a generalization of proximity spaces.
Let

be a proximity that is certain binary relation so that

A  B

is dened for every sets

A

and

B

. We will extend it from sets to lters by the formula:

A

0

B , 8

A

2 A

; B

2 B

:

A  B:

Then (as it will be proved below) there exist two functions

2

F

F

such that

A

0

B , B u

A

=

/ 0

F

, A u

B

=

/ 0

F

:

The pair

(

;

)

is called

funcoid

when

B u

A

=

/ 0

F

, A u

B

=

/ 0

F

. So funcoids are a generalization

of proximity spaces.

Funcoids consist of two components the rst

and the second

. The rst component of a

funcoid

f

is denoted as

h

f

i

and the second component is denoted as

h

f

¡

1

i

. (The similarity of this

notation with the notation for the image of a set under a function is not a coincidence, we will see
that in the case of principal funcoids (see below) these coincide.)

One of the most important properties of a funcoid is that it is uniquely determined by just one

of its components. That is a funcoid

f

is uniquely determined by the function

h

f

i

. Moreover a

funcoid

f

is uniquely determined by values of

h

f

i

on principal lters.

Next we will consider some examples of funcoids determined by specied values of the rst

component on sets.

Funcoids as a generalization of pretopological spaces: Let

be a pretopological space that

is a map

2

F

f

for some set

f

. Then we dene

0

X

=

def

F

f

x

j

x

2

X

g

for every set

X

2

P

f

.

We will prove that there exists a unique funcoid

f

such that

0

=

h

f

ij

P

"

where

P

is the set of

principal lters on

f

. So funcoids are a generalization of pretopological spaces. Funcoids are also a

generalization of preclosure operators: For every preclosure operator

p

on a set

f

it exists a unique

funcoid

f

such that

h

f

ij

P

"

=

p

.

For every binary relation

p

on a set

f

there exists unique funcoid

f

such that

8

X

2

P

f

:

h

f

i"

X

=

"h

p

i

X

(where

h

p

i

is dened in the introduction), recall that a funcoid is uniquely determined by the values

of its rst component on sets. I will call such funcoids

principal

. So funcoids are a generalization

of binary relations.

95