background image

dened in this way (for a metric space) is an example of proximity as dened below.

Denition 5.29.

A

proximity space

is a set

(

U

;

)

conforming to the following axioms (for every

A; B ; C

2

P

U

):

1.

A

\

B

=

/

; )

A  B

;

2. if

A  B

then

A

=

/

;

and

B

=

/

;

;

3.

A  B

)

B  A

(

symmetry

);

4.

(

A

[

B

)

 C

,

A  C

_

B  C

;

5.

(

A

[

B

)

,

C  A

_

C  B

;

6.

B

implies existence of

P ; Q

2

P

U

with

P

,

Q

and

P

[

Q

=

U

.

Exercise 5.6.

Show that proximity generated by a metric space is really a proximity (conforms to the above

axioms).

Denition 5.30.

Quasi-proximity

is dened as the above but without the symmetry axiom.

Denition 5.31.

Closure is generated by a proximity by the following formula:

cl

(

A

) =

f

a

2

U

j f

a

g

 A

g

:

Proposition 5.32.

Every closure generated by a proximity is a Kuratowski closure.

Proof.

First prove it is a preclosure. cl

(

;

) =

;

is obvious. cl

(

A

)

A

is obvious. cl

(

A

[

B

) =

f

a

2

U

j f

a

g

 A

[

B

g

=

f

a

2

U

j f

a

g

 A

_f

a

g

 B

g

=

f

a

2

U

j f

a

g

 A

g [f

a

2

U

j f

a

g

 B

g

=

cl

(

A

)

[

cl

(

B

)

.

It is remained to prove that cl is idempotent, that is cl

(

cl

(

A

)) =

cl

(

A

)

. It is enough to show

cl

(

cl

(

A

))

cl

(

A

)

, that is if

x

2

/

cl

(

A

)

then

x

2

/

cl

(

cl

(

A

))

.

If

x

2

/

cl

(

A

)

then

f

x

g

A

. So there are

P ; Q

2

P

U

such that

f

x

g

P

,

Q

,

P

[

Q

=

U

. Then

U

n

Q

P

, so

f

x

g

U

n

Q

and hence

x

2

Q

. Hence

U

n

cl

(

A

)

Q

, and so cl

(

A

)

U

n

Q

P

.

Consequently

f

x

g

cl

(

A

)

and hence

x

2

/

cl

(

cl

(

A

))

.

94

Common knowledge, part 2 (topology)