 Proof.

cl

(

;

) =

;

because

;

is a closed set. cl

(

A

)

A

is obvious. cl

(

A

[

B

) =

T

f

X

2

P

U

j

X

is a

closed set

; X

A

[

B

g

=

T

f

X

1

[

X

2

j

X

1

; X

2

2

P

U

are closed sets

; X

1

A; X

2

B

g

=

T

f

X

1

2

P

U

j

X

1

is closed a set

; X

1

A

g [

T

f

X

2

2

P

U

j

X

2

is closed a set

; X

2

B

g

=

cl

(

A

)

[

cl

(

B

)

. Thus

cl is a preclosure.

Or:

(

x

) =

d

f"

U

X

j

X

2 O

; x

2

X

g

.

It is trivially a pretopology (used the fact that

U

2 O

).

Proposition 5.23.

The preclosure and the pretopology dened in this section above correspond

to each other (by the formulas from theorem

5.12

).

Proof.

We need to prove cl

(

A

) =

f

x

2

U

j

(

x

)

/

"

U

A

g

, that is

\

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set

; X

A

g

=

x

2

U

j

l

f"

U

X

j

X

2 O

; x

2

X

/

"

U

A

:

Equivalently transforming it, we get:

T

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set

; X

A

g

=

f

x

2

U

j 8

X

2 O

: (

x

2

X

) "

U

X

/

"

U

A

)

g

;

T

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set

; X

A

g

=

f

x

2

U

j 8

X

2 O

: (

x

2

X

)

X

/

A

)

g

:

x

2

T

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set

; X

A

g , 8

X

2

P

U

: (

X

is a closed set

^

X

A

)

x

2

X

)

,

8

X

0

2 O

: (

U

n

X

0

A

)

x

2

U

n

X

0

)

, 8

X

0

2 O

: (

X

0

A

)

x

2

/

X

0

)

, 8

X

2 O

: (

x

2

X

)

X

/

A

)

. So

our equivalence holds.

Proposition 5.24.

If

is the topology induced by pretopology

, in turn induced by topology

, then

=

.

Proof.

The set of closed sets of

is

f

A

2

P

U

j

cl

(

A

) =

A

g

=

f

A

2

P

U

j

T

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set in

; X

A

g

=

A

g

=

f

A

2

P

U

j

A

is a closed set in

g

(taken into account that

intersecting closed sets is a closed set).

Denition 5.25.

Idempotent closures are called

Kuratowski closures

.

Theorem 5.26.

The above dened correspondences between topologies and pretopologies,

restricted to Kuratowski closures, is a bijection.

Proof.

Taking into account the above proposition, it's enough to prove that:

If

is the pretopology induced by topology

, in turn induced by a Kuratowski closure

, then

=

.

cl

(

A

) =

T

f

X

2

P

U

j

X

is a closed set in

; X

A

g

=

T

f

X

2

P

U

j

cl

(

X

) =

X ; X

A

g

=

T

f

cl

(

X

)

j

X

2

P

U ;

cl

(

X

) =

X ; X

cl

(

A

)

g

=

T

f

cl

(

cl

(

X

))

j

X

=

A

g

=

cl

(

cl

(

A

)) =

cl

(

A

)

.

5.3.1.3 Topology induced by a metric

Denition 5.27.

Every metric space induces a topology in this way: A set

X

is open i

8

x

2

X

9

" >

0:

B

r

(

x

)

X:

Exercise 5.5.

Prove it is really a topology and this topology is the same as the topology, induced by the

pretopology, in turn induced by our metric space.

5.4 Proximity spaces

Let

(

U

;

d

)

be metric space. We will dene

distance

between sets

A; B

2

P

U

by the formula

d

(

A; B

) =

inf

f

d

(

a; b

)

j

a

2

A; b

2

B

g

:

(Here inf  denotes inmum on the real line.)

Denition 5.28.

Sets

A; B

2

P

U

are

near

(denoted

A  B

) i

d

(

A; B

) = 0

.

5.4 Proximity spaces

93